Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\sin (x + 5)}{y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{\sin (x + 5)}{y})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{\sin (x + 5)}{y}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{\sin (x + 5)}{y}$

Étape 1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{\sin (x + 5)}{y}$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d x} = - \sin (x + 5)$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y d y = - \sin (x + 5) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int - \sin (x + 5) d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \sin (x + 5) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \sin (x + 5) d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = x + 5$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = x + 5$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [x + 5]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3.2.1.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \sin (u) d u$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (- \cos (u) + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez

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Étape 2.3.4.1

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - - \cos (u) + C_{2}$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez

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Étape 2.3.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 \cos (u) + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2

Multipliez $\cos (u)$ par $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \cos (u) + C_{2}$

Étape 2.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 5$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \cos (x + 5) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \cos (x + 5) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\cos (x + 5) + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\cos (x + 5) + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\cos (x + 5) + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\cos (x + 5) + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \cos (x + 5) + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{2 \cos (x + 5) + 2 K}$

Étape 3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 \cos (x + 5) + 2 K$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cos (x + 5)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\cos (x + 5)) + 2 K}$

Étape 3.4.2

Factorisez $2$ à partir de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\cos (x + 5)) + 2 K}$

Étape 3.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\cos (x + 5)) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

$y = \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

$y = \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (\cos (x + 5) + K)}$