Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 - 2 x}{3 y^{2} - 5}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $3 y^{2} - 5$ .

$(3 y^{2} - 5) \frac{d y}{d x} = (3 y^{2} - 5) \frac{4 - 2 x}{3 y^{2} - 5}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 - 2 x$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$(3 y^{2} - 5) \frac{d y}{d x} = (3 y^{2} - 5) \frac{2 (2) - 2 x}{3 y^{2} - 5}$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$(3 y^{2} - 5) \frac{d y}{d x} = (3 y^{2} - 5) \frac{2 (2) + 2 (- x)}{3 y^{2} - 5}$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2) + 2 (- x)$ .

$(3 y^{2} - 5) \frac{d y}{d x} = (3 y^{2} - 5) \frac{2 (2 - x)}{3 y^{2} - 5}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $3 y^{2} - 5$ .

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$(3 y^{2} - 5) \frac{d y}{d x} = (3 y^{2} - 5) \frac{2 (2 - x)}{3 y^{2} - 5}$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$(3 y^{2} - 5) \frac{d y}{d x} = 2 (2 - x)$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(3 y^{2} - 5) \frac{d y}{d x} = 2 \cdot 2 + 2 (- x)$

Étape 1.2.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$(3 y^{2} - 5) \frac{d y}{d x} = 4 + 2 (- x)$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(3 y^{2} - 5) \frac{d y}{d x} = 4 - 2 x$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(3 y^{2} - 5) d y = (4 - 2 x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 3 y^{2} - 5 d y = \int 4 - 2 x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 3 y^{2} d y + \int - 5 d y = \int 4 - 2 x d x$

Étape 2.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int y^{2} d y + \int - 5 d y = \int 4 - 2 x d x$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) + \int - 5 d y = \int 4 - 2 x d x$

Étape 2.2.4

Appliquez la règle de la constante.

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) - 5 y + C_{2} = \int 4 - 2 x d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 (\frac{y^{3}}{3} + C_{1}) - 5 y + C_{2} = \int 4 - 2 x d x$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez

$y^{3} - 5 y + C_{3} = \int 4 - 2 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y^{3} - 5 y + C_{3} = \int 4 d x + \int - 2 x d x$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$y^{3} - 5 y + C_{3} = 4 x + C_{4} + \int - 2 x d x$

Étape 2.3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$y^{3} - 5 y + C_{3} = 4 x + C_{4} - 2 \int x d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y^{3} - 5 y + C_{3} = 4 x + C_{4} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

$y^{3} - 5 y + C_{3} = 4 x - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{6}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

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Étape 2.3.5.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$y^{3} - 5 y + C_{3} = 4 x + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{6}$

Étape 2.3.5.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.3.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y^{3} - 5 y + C_{3} = 4 x + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{6}$

Étape 2.3.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y^{3} - 5 y + C_{3} = 4 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{6}$

Étape 2.3.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{3} - 5 y + C_{3} = 4 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{6}$

Étape 2.3.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{3} - 5 y + C_{3} = 4 x + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{6}$

Étape 2.3.5.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$y^{3} - 5 y + C_{3} = 4 x - x^{2} + C_{6}$

Étape 2.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$y^{3} - 5 y + C_{3} = - x^{2} + 4 x + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y^{3} - 5 y = - x^{2} + 4 x + K$