Calcul infinitésimal Exemples

$d x - (1 + 2 x \tan (y)) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 1$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Étape 1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - (1 + 2 x \tan (y))$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 + 2 x \tan (y))]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (1 + 2 x \tan (y))$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [1 + 2 x \tan (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 + 2 x \tan (y)]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 2 x \tan (y)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)])$

Étape 2.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)])$

Étape 2.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [2 x \tan (y)]$

Étape 2.6

Comme $2 \tan (y)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x \tan (y)$ par rapport à $x$ est $2 \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \tan (y) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\tan (y) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \tan (y) \cdot 1$

Étape 2.9

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \tan (y)$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $0$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2 \tan (y)$ .

$0 = - 2 \tan (y)$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$0 = - 2 \tan (y)$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2 \tan (y)$ .

$\frac{- 2 \tan (y) - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $0$ .

$\frac{- 2 \tan (y) + 0}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $1$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $1$ .

$\frac{- 2 \tan (y) + 0}{1}$

Étape 4.3.2

Divisez $- 2 \tan (y) + 0$ par $1$ .

$- 2 \tan (y) + 0$

Étape 4.3.3

Remplacez $M$ par $1$ .

$- 2 \tan (y)$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 2 \tan (y) d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - 2 \tan (y) d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \tan (y) d y}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\tan (y)$ par rapport à $y$ est $\ln (| \sec (y) |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| \sec (y) |) + C)}$

Étape 5.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| \sec (y) |)} + C$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $- 2 \ln (| \sec (y) |)$ en déplaçant $- 2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (y) |}^{- 2})} + C$

Étape 5.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| \sec (y) |}^{- 2} + C$

Étape 5.4.3

Retirez la valeur absolue dans ${| \sec (y) |}^{- 2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = \sec^{- 2} (y) + C$

Étape 5.4.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{\sec^{2} (y)} + C$

Étape 5.4.5

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$μ (x, y) = \frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)} + C$

Étape 5.4.6

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (y)}$ comme ${(\frac{1}{\sec (y)})}^{2}$ .

$μ (x, y) = {(\frac{1}{\sec (y)})}^{2} + C$

Étape 5.4.7

Réécrivez $\sec (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$μ (x, y) = {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}})}^{2} + C$

Étape 5.4.8

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$μ (x, y) = {(1 \cos (y))}^{2} + C$

Étape 5.4.9

Multipliez $\cos (y)$ par $1$ .

$μ (x, y) = \cos^{2} (y) + C$

Étape 6

Multipliez $1$ par $\cos^{2} (y)$ .

$d x - (1 + 2 x \tan (y)) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos^{2} (y) d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = \cos^{2} (y)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x + g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos^{2} (y) x + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\cos^{2} (y) x]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\cos^{2} (y) x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [\cos^{2} (y)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{2}$ et $g (y) = \cos (y)$ .

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Étape 11.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (y)$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Étape 11.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Étape 11.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (y)$ .

$x (2 \cos (y) \frac{d}{d y} [\cos (y)]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Étape 11.3.3

La dérivée de $\cos (y)$ par rapport à $y$ est $- \sin (y)$ .

$x (2 \cos (y) (- \sin (y))) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Étape 11.3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x (- 2 \cos (y) \sin (y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 2 \cos (y) \sin (y)) + \frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} - 2 x \cos (y) \sin (y) = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y)$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Ajoutez $2 x \cos (y) \sin (y)$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$

Étape 12.1.2

Associez les termes opposés dans $- \cos^{2} (y) - 2 x \sin (y) \cos (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$ .

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Étape 12.1.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $- 2 x \sin (y) \cos (y)$ et $2 x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) - 2 x \cos (y) \sin (y) + 2 x \cos (y) \sin (y)$

Étape 12.1.2.2

Additionnez $- 2 x \cos (y) \sin (y)$ et $2 x \cos (y) \sin (y)$ .

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y) + 0$

Étape 12.1.2.3

Additionnez $- \cos^{2} (y)$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y)$

Étape 13

Déterminez la primitive de $- \cos^{2} (y)$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - \cos^{2} (y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \cos^{2} (y) d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \cos^{2} (y) d y$

Étape 13.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - \int \cos^{2} (y) d y$

Étape 13.4

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (y)$ en $\frac{1 + \cos (2 y)}{2}$ .

$g (y) = - \int \frac{1 + \cos (2 y)}{2} d y$

Étape 13.5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y)$

Étape 13.6

Supprimez les parenthèses.

$g (y) = - \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 y) d y$

Étape 13.7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (y) = - \frac{1}{2} (\int d y + \int \cos (2 y) d y)$

Étape 13.8

Appliquez la règle de la constante.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \cos (2 y) d y)$

Étape 13.9

Laissez $u = 2 y$ . Alors $d u = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 13.9.1

Laissez $u = 2 y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 13.9.1.1

Différenciez $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 13.9.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 13.9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 13.9.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 13.9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 13.10

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 13.11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Étape 13.12

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Étape 13.13

Simplifiez

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Étape 13.14

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 y$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{1}{2} \sin (2 y)) + C$

Étape 13.15

Simplifiez

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Étape 13.15.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 y)$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (y + \frac{\sin (2 y)}{2}) + C$

Étape 13.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Étape 13.15.3

Associez $y$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Étape 13.15.4

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 y)}{2}$ .

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Étape 13.15.4.1

Multipliez $\frac{\sin (2 y)}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{2 \cdot 2} + C$

Étape 13.15.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$g (y) = - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

Étape 13.16

Simplifiez

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Étape 13.16.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$g (y) = - (\frac{1}{2} y) - (\frac{1}{4} \sin (2 y)) + C$

Étape 13.16.2

Supprimez les parenthèses.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - (\frac{1}{4} \sin (2 y)) + C$

Étape 13.16.3

Supprimez les parenthèses.

$g (y) = - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \cos^{2} (y) x + g (y)$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

Étape 15

Simplifiez $f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$ .

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Associez $y$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{1}{4} \sin (2 y) + C$

Étape 15.1.2

Associez $\sin (2 y)$ et $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$

Étape 15.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = \cos^{2} (y) x - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$ .

$f (x, y) = x \cos^{2} (y) - \frac{y}{2} - \frac{\sin (2 y)}{4} + C$