Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 4 y = x - 2 x^{2}$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 4 d x}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{4 x + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{4 x}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{4 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + e^{4 x} (4 y) = e^{4 x} x + e^{4 x} (- 2 x^{2})$

Étape 2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} x + e^{4 x} (- 2 x^{2})$

Étape 2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} x - 2 e^{4 x} x^{2}$

Étape 2.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 e^{4 x} y = e^{4 x} x - 2 e^{4 x} x^{2}$ .

$e^{4 x} \frac{d y}{d x} + 4 y e^{4 x} = x e^{4 x} - 2 x^{2} e^{4 x}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x} y] = x e^{4 x} - 2 x^{2} e^{4 x}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{4 x} y] d x = \int x e^{4 x} - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{4 x} y = \int x e^{4 x} - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$e^{4 x} y = \int x e^{4 x} d x + \int - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Étape 6.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x + \int - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Étape 6.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x + \int - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Étape 6.3.2

Associez $x$ et $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x + \int - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Étape 6.4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x) + \int - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Étape 6.5

Laissez $u_{1} = 4 x$ . Alors $d u_{1} = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1

Laissez $u_{1} = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.5.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 6.5.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 6.5.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 6.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} \frac{1}{4} d u_{1} + \int - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Étape 6.6

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u_{1}}}{4} d u_{1} + \int - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Étape 6.7

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Étape 6.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.8.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Étape 6.8.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Étape 6.9

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) + \int - 2 x^{2} e^{4 x} d x$

Étape 6.10

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 \int x^{2} e^{4 x} d x$

Étape 6.11

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x^{2}$ et $d v = e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (x^{2} (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x)$

Étape 6.12

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.12.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (x^{2} \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x)$

Étape 6.12.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} (2 x) d x)$

Étape 6.12.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} (2 x) d x)$

Étape 6.12.4

Associez $2$ et $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \int \frac{2 e^{4 x}}{4} x d x)$

Étape 6.12.5

Associez $\frac{2 e^{4 x}}{4}$ et $x$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \int \frac{2 e^{4 x} x}{4} d x)$

Étape 6.12.6

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.12.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{4 x} x$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \int \frac{2 (e^{4 x} x)}{4} d x)$

Étape 6.12.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.12.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \int \frac{2 (e^{4 x} x)}{2 \cdot 2} d x)$

Étape 6.12.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \int \frac{2 (e^{4 x} x)}{2 \cdot 2} d x)$

Étape 6.12.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x} x}{2} d x)$

Étape 6.13

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{2} \int e^{4 x} x d x))$

Étape 6.14

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (x (\frac{1}{4} e^{4 x}) - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x))$

Étape 6.15

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.15.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (x \frac{e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x))$

Étape 6.15.2

Associez $x$ et $\frac{e^{4 x}}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{1}{4} e^{4 x} d x))$

Étape 6.15.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \int \frac{e^{4 x}}{4} d x))$

Étape 6.16

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - (\frac{1}{4} \int e^{4 x} d x)))$

Étape 6.17

Laissez $u_{2} = 4 x$ . Alors $d u_{2} = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.17.1

Laissez $u_{2} = 4 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.17.1.1

Différenciez $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Étape 6.17.1.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.17.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 6.17.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$

Étape 6.17.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int e^{u_{2}} \frac{1}{4} d u_{2}))$

Étape 6.18

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}))$

Étape 6.19

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4} (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})))$

Étape 6.20

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.20.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{1}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{4 \cdot 4} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

Étape 6.20.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

Étape 6.21

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{1}} + C) - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} (e^{u_{2}} + C)))$

Étape 6.22

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.22.1

Simplifiez

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 (\frac{1}{4} x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{2}})) + C$

Étape 6.22.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.22.2.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x$ .

$e^{4 x} y = \frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 (\frac{1}{4} x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{2}})) + C$

Étape 6.22.2.2

Associez $\frac{x}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 (\frac{1}{4} x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{2}})) + C$

Étape 6.22.2.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{2}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 (\frac{x^{2}}{4} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{2}})) + C$

Étape 6.22.2.4

Associez $\frac{x^{2}}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{2}})) + C$

Étape 6.22.2.5

Associez $\frac{1}{4}$ et $x$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x}{4} e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{u_{2}})) + C$

Étape 6.22.2.6

Associez $\frac{x}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{2}})) + C$

Étape 6.22.2.7

Associez $e^{u_{2}}$ et $\frac{1}{16}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})) + C$

Étape 6.22.2.8

Pour écrire $- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16}) \cdot \frac{4}{4}) + C$

Étape 6.22.2.9

Associez $- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})$ et $\frac{4}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 (\frac{x^{2} e^{4 x}}{4} + \frac{- \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16}) \cdot 4}{4}) + C$

Étape 6.22.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16}) \cdot 4}{4} + C$

Étape 6.22.2.11

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 \frac{x^{2} e^{4 x} - 4 (\frac{1}{2}) (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})}{4} + C$

Étape 6.22.2.12

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{- 4}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})}{4} + C$

Étape 6.22.2.13

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.22.2.13.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})}{4} + C$

Étape 6.22.2.13.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.22.2.13.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})}{4} + C$

Étape 6.22.2.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})}{4} + C$

Étape 6.22.2.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 \frac{x^{2} e^{4 x} + \frac{- 2}{1} (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})}{4} + C$

Étape 6.22.2.13.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - 2 \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})}{4} + C$

Étape 6.22.2.14

Associez $- 2$ et $\frac{x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} + \frac{- 2 (x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16}))}{4} + C$

Étape 6.22.2.15

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.22.2.15.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 (x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16}))$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} + \frac{2 (- (x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})))}{4} + C$

Étape 6.22.2.15.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.22.2.15.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} + \frac{2 (- (x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})))}{2 (2)} + C$

Étape 6.22.2.15.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} + \frac{2 (- (x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})))}{2 \cdot 2} + C$

Étape 6.22.2.15.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} + \frac{- (x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16}))}{2} + C$

Étape 6.22.2.16

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{u_{1}} - \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})}{2} + C$

Étape 6.23

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.23.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $4 x$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{u_{2}}}{16})}{2} + C$

Étape 6.23.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 (\frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16})}{2} + C$

Étape 6.24

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.24.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} - 2 \frac{x e^{4 x}}{4} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{2} + C$

Étape 6.24.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.24.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} + 2 (- 1) \frac{x e^{4 x}}{4} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{2} + C$

Étape 6.24.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{2} + C$

Étape 6.24.2.3

Annulez le facteur commun.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} + 2 \cdot - 1 \frac{x e^{4 x}}{2 \cdot 2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{2} + C$

Étape 6.24.2.4

Réécrivez l’expression.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{4 x}}{16})}{2} + C$

Étape 6.24.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.24.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{4 x}}{16}$ dans le numérateur.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - 2 \frac{- e^{4 x}}{16}}{2} + C$

Étape 6.24.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 (- 1) \frac{- e^{4 x}}{16}}{2} + C$

Étape 6.24.3.3

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8}}{2} + C$

Étape 6.24.3.4

Annulez le facteur commun.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{4 x}}{2 \cdot 8}}{2} + C$

Étape 6.24.3.5

Réécrivez l’expression.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - \frac{- e^{4 x}}{8}}{2} + C$

Étape 6.24.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.24.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} - - \frac{e^{4 x}}{8}}{2} + C$

Étape 6.24.4.2

Multipliez $- - \frac{e^{4 x}}{8}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.24.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + 1 \frac{e^{4 x}}{8}}{2} + C$

Étape 6.24.4.2.2

Multipliez $\frac{e^{4 x}}{8}$ par $1$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{e^{4 x}}{8}}{2} + C$

Étape 6.24.5

Associez $e^{4 x}$ et $\frac{1}{16}$ .

$e^{4 x} y = \frac{x e^{4 x}}{4} - \frac{e^{4 x}}{16} - \frac{x^{2} e^{4 x} - \frac{x e^{4 x}}{2} + \frac{e^{4 x}}{8}}{2} + C$

Étape 6.25

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} x e^{4 x} - \frac{1}{16} e^{4 x} - \frac{1}{2} (x^{2} e^{4 x} - \frac{1}{2} x e^{4 x} + \frac{1}{8} e^{4 x}) + C$

Étape 7

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.1

Multipliez $- \frac{1}{2} (x e^{4 x})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1.1.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{4 x} - \frac{x}{2} e^{4 x} + \frac{1}{8} \cdot e^{4 x}) + C$

Étape 7.1.1.1.2

Associez $e^{4 x}$ et $\frac{x}{2}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{4 x} - \frac{e^{4 x} x}{2} + \frac{1}{8} \cdot e^{4 x}) + C$

Étape 7.1.1.2

Associez $\frac{1}{8}$ et $e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} e^{4 x} - \frac{e^{4 x} x}{2} + \frac{e^{4 x}}{8}) + C$

Étape 7.1.2

Réorganisez les facteurs de $x^{2} e^{4 x}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (e^{4 x} x^{2} - \frac{e^{4 x} x}{2} + \frac{e^{4 x}}{8}) + C$

Étape 7.1.3

Additionnez $e^{4 x} x^{2}$ et $\frac{e^{4 x}}{8}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.3.1

Remettez dans l’ordre $e^{4 x}$ et $x^{2}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{e^{4 x} x}{2} + x^{2} e^{4 x} + \frac{e^{4 x}}{8}) + C$

Étape 7.1.3.2

Pour écrire $x^{2} e^{4 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{e^{4 x} x}{2} + x^{2} e^{4 x} \cdot \frac{8}{8} + \frac{e^{4 x}}{8}) + C$

Étape 7.1.3.3

Associez $x^{2} e^{4 x}$ et $\frac{8}{8}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{e^{4 x} x}{2} + \frac{x^{2} e^{4 x} \cdot 8}{8} + \frac{e^{4 x}}{8}) + C$

Étape 7.1.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{e^{4 x} x}{2} + \frac{x^{2} e^{4 x} \cdot 8 + e^{4 x}}{8}) + C$

Étape 7.1.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.4.1

Factorisez $e^{4 x}$ à partir de $x^{2} e^{4 x} \cdot 8 + e^{4 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.4.1.1

Factorisez $e^{4 x}$ à partir de $x^{2} e^{4 x} \cdot 8$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{e^{4 x} x}{2} + \frac{e^{4 x} (x^{2} \cdot 8) + e^{4 x}}{8}) + C$

Étape 7.1.4.1.2

Multipliez par $1$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{e^{4 x} x}{2} + \frac{e^{4 x} (x^{2} \cdot 8) + e^{4 x} \cdot 1}{8}) + C$

Étape 7.1.4.1.3

Factorisez $e^{4 x}$ à partir de $e^{4 x} (x^{2} \cdot 8) + e^{4 x} \cdot 1$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{e^{4 x} x}{2} + \frac{e^{4 x} (x^{2} \cdot 8 + 1)}{8}) + C$

Étape 7.1.4.2

Déplacez $8$ à gauche de $x^{2}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{e^{4 x} x}{2} + \frac{e^{4 x} (8 x^{2} + 1)}{8}) + C$

Étape 7.1.5

Pour écrire $- \frac{e^{4 x} x}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{e^{4 x} x}{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{e^{4 x} (8 x^{2} + 1)}{8}) + C$

Étape 7.1.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.6.1

Multipliez $\frac{e^{4 x} x}{2}$ par $\frac{4}{4}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{e^{4 x} x \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{e^{4 x} (8 x^{2} + 1)}{8}) + C$

Étape 7.1.6.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot (- \frac{e^{4 x} x \cdot 4}{8} + \frac{e^{4 x} (8 x^{2} + 1)}{8}) + C$

Étape 7.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{- e^{4 x} x \cdot 4 + e^{4 x} (8 x^{2} + 1)}{8} + C$

Étape 7.1.8

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.8.1

Factorisez $e^{4 x}$ à partir de $- e^{4 x} x \cdot 4 + e^{4 x} (8 x^{2} + 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.8.1.1

Factorisez $e^{4 x}$ à partir de $- e^{4 x} x \cdot 4$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{4 x} (- x \cdot 4) + e^{4 x} (8 x^{2} + 1)}{8} + C$

Étape 7.1.8.1.2

Factorisez $e^{4 x}$ à partir de $e^{4 x} (- x \cdot 4) + e^{4 x} (8 x^{2} + 1)$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{4 x} (- x \cdot 4 + 8 x^{2} + 1)}{8} + C$

Étape 7.1.8.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{4 x} (- 4 x + 8 x^{2} + 1)}{8} + C$

Étape 7.1.8.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{8} + C$

Étape 7.1.9

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{8}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.9.1

Multipliez $\frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{8}$ par $\frac{1}{2}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{8 \cdot 2} + C$

Étape 7.1.9.2

Multipliez $8$ par $2$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{1}{16} \cdot e^{4 x} - \frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{16} + C$

Étape 7.1.10

Associez $e^{4 x}$ et $\frac{1}{16}$ .

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16} - \frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{16} + C$

Étape 7.1.11

Supprimez les parenthèses.

$e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot x e^{4 x} - \frac{e^{4 x}}{16} - \frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{16} + C$

Étape 7.2

Divisez chaque terme dans $e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16} - \frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{16} + C$ par $e^{4 x}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{4 x} y = \frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16} - \frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{16} + C$ par $e^{4 x}$ .

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{e^{4 x}}{16}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{16}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{4 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{4 x} y}{e^{4 x}} = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{e^{4 x}}{16}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{16}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x})}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{e^{4 x}}{16}}{e^{4 x}} + \frac{- \frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{16}}{e^{4 x}} + \frac{C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) - \frac{e^{4 x}}{16} - \frac{e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{16} + C}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) + C + \frac{- e^{4 x} - e^{4 x} (8 x^{2} - 4 x + 1)}{16}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) + C + \frac{- e^{4 x} - e^{4 x} (8 x^{2}) - e^{4 x} (- 4 x) - e^{4 x} \cdot 1}{16}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) + C + \frac{- e^{4 x} - 1 \cdot 8 e^{4 x} x^{2} - e^{4 x} (- 4 x) - e^{4 x} \cdot 1}{16}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.2.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) + C + \frac{- e^{4 x} - 1 \cdot 8 e^{4 x} x^{2} - 1 \cdot - 4 e^{4 x} x - e^{4 x} \cdot 1}{16}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) + C + \frac{- e^{4 x} - 1 \cdot 8 e^{4 x} x^{2} - 1 \cdot - 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{16}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.2.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) + C + \frac{- e^{4 x} - 8 e^{4 x} x^{2} - 1 \cdot - 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{16}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) + C + \frac{- e^{4 x} - 8 e^{4 x} x^{2} + 4 e^{4 x} x - e^{4 x}}{16}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.3.1

Soustrayez $e^{4 x}$ de $- e^{4 x}$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) + C + \frac{- 8 e^{4 x} x^{2} + 4 e^{4 x} x - 2 e^{4 x}}{16}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 8 e^{4 x} x^{2} + 4 e^{4 x} x - 2 e^{4 x}$ .

$y = \frac{\frac{1}{4} \cdot (x e^{4 x}) + C + \frac{- 8 x^{2} e^{4 x} + 4 x e^{4 x} - 2 e^{4 x}}{16}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.4.1

Multipliez $\frac{1}{4} (x e^{4 x})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.4.1.1

Associez $x$ et $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{\frac{x}{4} e^{4 x} + C + \frac{- 8 x^{2} e^{4 x} + 4 x e^{4 x} - 2 e^{4 x}}{16}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.4.1.2

Associez $\frac{x}{4}$ et $e^{4 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{4 x}}{4} + C + \frac{- 8 x^{2} e^{4 x} + 4 x e^{4 x} - 2 e^{4 x}}{16}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.4.2

Factorisez $2 e^{4 x}$ à partir de $- 8 x^{2} e^{4 x} + 4 x e^{4 x} - 2 e^{4 x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.4.2.1

Factorisez $2 e^{4 x}$ à partir de $- 8 x^{2} e^{4 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{4 x}}{4} + C + \frac{2 e^{4 x} (- 4 x^{2}) + 4 x e^{4 x} - 2 e^{4 x}}{16}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.4.2.2

Factorisez $2 e^{4 x}$ à partir de $4 x e^{4 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{4 x}}{4} + C + \frac{2 e^{4 x} (- 4 x^{2}) + 2 e^{4 x} (2 x) - 2 e^{4 x}}{16}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.4.2.3

Factorisez $2 e^{4 x}$ à partir de $- 2 e^{4 x}$ .

$y = \frac{\frac{x e^{4 x}}{4} + C + \frac{2 e^{4 x} (- 4 x^{2}) + 2 e^{4 x} (2 x) + 2 e^{4 x} (- 1)}{16}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.4.2.4

Factorisez $2 e^{4 x}$ à partir de $2 e^{4 x} (- 4 x^{2}) + 2 e^{4 x} (2 x)$ .

$y = \frac{\frac{x e^{4 x}}{4} + C + \frac{2 e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x) + 2 e^{4 x} (- 1)}{16}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.4.2.5

Factorisez $2 e^{4 x}$ à partir de $2 e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x) + 2 e^{4 x} (- 1)$ .

$y = \frac{\frac{x e^{4 x}}{4} + C + \frac{2 e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1)}{16}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.4.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $16$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1)$ .

$y = \frac{\frac{x e^{4 x}}{4} + C + \frac{2 (e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1))}{16}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.4.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$y = \frac{\frac{x e^{4 x}}{4} + C + \frac{2 (e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1))}{2 \cdot 8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\frac{x e^{4 x}}{4} + C + \frac{2 (e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1))}{2 \cdot 8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\frac{x e^{4 x}}{4} + C + \frac{e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.5

Pour écrire $\frac{x e^{4 x}}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C + \frac{x e^{4 x}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.6.1

Multipliez $\frac{x e^{4 x}}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C + \frac{x e^{4 x} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.6.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$y = \frac{C + \frac{x e^{4 x} \cdot 2}{8} + \frac{e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{C + \frac{x e^{4 x} \cdot 2 + e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.8

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.8.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.8.1.1

Factorisez $e^{4 x}$ à partir de $x e^{4 x} \cdot 2 + e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.8.1.1.1

Factorisez $e^{4 x}$ à partir de $x e^{4 x} \cdot 2$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} (x \cdot 2) + e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.8.1.1.2

Factorisez $e^{4 x}$ à partir de $e^{4 x} (x \cdot 2) + e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x - 1)$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} (x \cdot 2 - 4 x^{2} + 2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.8.1.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} (- 4 x^{2} + 2 x + 2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.8.1.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.8.1.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} ((- 4 x^{2} + 2 x) + 2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.8.1.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} (2 x (- 2 x + 1) - (- 2 x + 1))}{8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.8.1.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- 2 x + 1$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} (- 2 x + 1) (2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.8.1.5

Associez les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.8.1.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} (- (2 x) + 1) (2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.8.1.5.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} (- (2 x) - 1 (- 1)) (2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.8.1.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} (- (2 x - 1)) (2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.8.1.5.4

Réécrivez $- (2 x - 1)$ comme $- 1 (2 x - 1)$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} (- 1 (2 x - 1)) (2 x - 1)}{8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.8.1.5.5

Élevez $2 x - 1$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} \cdot - 1 ({(2 x - 1)}^{1} (2 x - 1))}{8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.8.1.5.6

Élevez $2 x - 1$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} \cdot - 1 ({(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{1})}{8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.8.1.5.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} \cdot - 1 {(2 x - 1)}^{1 + 1}}{8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.8.1.5.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{C + \frac{e^{4 x} \cdot - 1 {(2 x - 1)}^{2}}{8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.8.1.6

Factorisez le signe négatif.

$y = \frac{C + \frac{- e^{4 x} {(2 x - 1)}^{2}}{8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{C - \frac{e^{4 x} {(2 x - 1)}^{2}}{8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.9

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{C \cdot \frac{8}{8} - \frac{e^{4 x} {(2 x - 1)}^{2}}{8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.10

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.3.10.1

Associez $C$ et $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{\frac{C \cdot 8}{8} - \frac{e^{4 x} {(2 x - 1)}^{2}}{8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.10.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\frac{C \cdot 8 - e^{4 x} {(2 x - 1)}^{2}}{8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.11

Déplacez $8$ à gauche de $C$ .

$y = \frac{\frac{8 C - e^{4 x} {(2 x - 1)}^{2}}{8}}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.12

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{8 C - e^{4 x} {(2 x - 1)}^{2}}{8} \cdot \frac{1}{e^{4 x}}$

Étape 7.2.3.13

Multipliez $\frac{8 C - e^{4 x} {(2 x - 1)}^{2}}{8}$ par $\frac{1}{e^{4 x}}$ .

$y = \frac{8 C - e^{4 x} {(2 x - 1)}^{2}}{8 e^{4 x}}$