Calcul infinitésimal Exemples

$(4 + x^{2}) d y + 4 d x = 0$

Étape 1

Soustrayez $4 d x$ des deux côtés de l’équation.

$(4 + x^{2}) d y = - 4 d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{4 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{4 + x^{2}} (4 + x^{2}) d y = \frac{1}{4 + x^{2}} \cdot - 4 d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $4 + x^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4 + x^{2}} (4 + x^{2}) d y = \frac{1}{4 + x^{2}} \cdot - 4 d x$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 d y = \frac{1}{4 + x^{2}} \cdot - 4 d x$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{4 + x^{2}}$ et $- 4$ .

$1 d y = \frac{- 4}{4 + x^{2}} d x$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 d y = - \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int - \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Étape 4.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int - \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - \int \frac{4}{4 + x^{2}} d x$

Étape 4.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - (4 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x)$

Étape 4.3.3

Écrivez l’expression en utilisant des exposants.

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Étape 4.3.3.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Étape 4.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2})$

Étape 4.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$y + C_{1} = - 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$

Étape 4.3.5.2

Réécrivez $- 4 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$ comme $- 4 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Étape 4.3.5.3

Simplifiez

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Étape 4.3.5.3.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Étape 4.3.5.3.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 4.3.5.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Étape 4.3.5.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.5.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Étape 4.3.5.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Étape 4.3.5.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Étape 4.3.5.3.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Étape 4.3.5.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$y + C_{1} = - 2 \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Étape 4.3.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - 2 \arctan (\frac{1}{2} x) + K$