Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - \frac{3}{x^{4}}$

Étape 1

intégrez les deux côtés par rapport à $x$ .

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Étape 1.1

La dérivée première est égale à l’intégrale de la dérivée seconde par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int - \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{d y}{d x} = - \int \frac{3}{x^{4}} d x$

Étape 1.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{d y}{d x} = - (3 \int \frac{1}{x^{4}} d x)$

Étape 1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 \int \frac{1}{x^{4}} d x$

Étape 1.4.2

Retirez $x^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 \int {(x^{4})}^{- 1} d x$

Étape 1.4.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 1.4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 \int x^{4 \cdot - 1} d x$

Étape 1.4.3.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 \int x^{- 4} d x$

Étape 1.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{1})$

Étape 1.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.6.1

Simplifiez

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Étape 1.6.1.1

Associez $x^{- 3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{1})$

Étape 1.6.1.2

Placez $x^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{1})$

Étape 1.6.2

Simplifiez

$\frac{d y}{d x} = - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}}) + C_{1}$

Étape 1.6.3

Simplifiez

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Étape 1.6.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{3 x^{3}} + C_{1}$

Étape 1.6.3.2

Associez $3$ et $\frac{1}{3 x^{3}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{3 x^{3}} + C_{1}$

Étape 1.6.3.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.6.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{3 x^{3}} + C_{1}$

Étape 1.6.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{3}} + C_{1}$

Étape 2

Réécrivez l’équation.

$d y = (\frac{1}{x^{3}} + C_{1}) d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{1}{x^{3}} + C_{1} d x$

Étape 3.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{x^{3}} + C_{1} d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{2} = \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.3.2.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + C_{2} = \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{2} = \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y + C_{2} = \int x^{- 3} d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$y + C_{2} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{3} + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{2} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{3} + C_{1} x + C_{4}$

Étape 3.3.5

Simplifiez

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Étape 3.3.5.1

Simplifiez

$y + C_{2} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Étape 3.3.5.2

Simplifiez

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Étape 3.3.5.2.1

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{2} = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C_{1} x + C_{5}$

Étape 3.3.5.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$y + C_{2} = - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{1} x + C_{5}$

Étape 3.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{2} = C_{1} x - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{5}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $D$ .

$y = C x - \frac{1}{2 x^{2}} + D$