Calcul infinitésimal Exemples

$x y^{3} d x + (x^{2} y^{2} + 1) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x y^{3}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{3}]$

Étape 1.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y^{3}$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (3 y^{2})$

Étape 1.4

Remettez dans l’ordre.

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Étape 1.4.1

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 \cdot x y^{2}$

Étape 1.4.2

Réorganisez les facteurs de $3 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2} x$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{2} y^{2} + 1$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + 1]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $2 y^{2} x$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2} x$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 y^{2} x$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 y^{2} x$ .

$3 y^{2} x = 2 y^{2} x$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$3 y^{2} x = 2 y^{2} x$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 y^{2} x$ .

$\frac{2 y^{2} x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 y^{2} x$ .

$\frac{2 y^{2} x - (3 y^{2} x)}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $x y^{3}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $x y^{3}$ .

$\frac{2 y^{2} x - (3 y^{2} x)}{x y^{3}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $y^{2} x$ à partir de $2 y^{2} x - 1 \cdot 3 y^{2} x$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $y^{2} x$ à partir de $2 y^{2} x$ .

$\frac{y^{2} x (2) - 1 \cdot 3 y^{2} x}{x y^{3}}$

Étape 4.3.2.1.2

Factorisez $y^{2} x$ à partir de $- 1 \cdot 3 y^{2} x$ .

$\frac{y^{2} x (2) + y^{2} x (- 1 \cdot 3)}{x y^{3}}$

Étape 4.3.2.1.3

Factorisez $y^{2} x$ à partir de $y^{2} x (2) + y^{2} x (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{y^{2} x (2 - 1 \cdot 3)}{x y^{3}}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{y^{2} x (2 - 3)}{x y^{3}}$

Étape 4.3.2.3

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{y^{2} x \cdot - 1}{x y^{3}}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y^{3}$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{2} x \cdot - 1$ .

$\frac{y^{2} (x \cdot - 1)}{x y^{3}}$

Étape 4.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x y^{3}$ .

$\frac{y^{2} (x \cdot - 1)}{y^{2} (x y)}$

Étape 4.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} (x \cdot - 1)}{y^{2} (x y)}$

Étape 4.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \cdot - 1}{x y}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot - 1}{x y}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{y}$

Étape 4.3.5

Remplacez $M$ par $x y^{3}$ .

$- \frac{1}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $- \ln (| y |)$ en déplaçant $- 1$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Étape 5.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $x y^{3} d x + (x^{2} y^{2} + 1) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $x y^{3}$ par $\frac{1}{y}$ .

$x y^{3} \frac{1}{y} d x + (x^{2} y^{2} + 1) d y = 0$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y^{3}$ .

$y (x y^{2}) \frac{1}{y} d x + (x^{2} y^{2} + 1) d y = 0$

Étape 6.2.2

Annulez le facteur commun.

$y (x y^{2}) \frac{1}{y} d x + (x^{2} y^{2} + 1) d y = 0$

Étape 6.2.3

Réécrivez l’expression.

$x y^{2} d x + (x^{2} y^{2} + 1) d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $x^{2} y^{2} + 1$ par $\frac{1}{y}$ .

$x y^{2} d x + (x^{2} y^{2} + 1) \frac{1}{y} d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $x^{2} y^{2} + 1$ par $\frac{1}{y}$ .

$x y^{2} d x + \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x y^{2} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = x y^{2}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $y^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = y^{2} \int x d x$

Étape 8.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 8.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.3.1

Réécrivez $y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 8.3.2

Simplifiez

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Étape 8.3.2.1

Associez $y^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

Étape 8.3.2.2

Associez $\frac{y^{2}}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Étape 8.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

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Étape 11.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Étape 11.3.2

Associez $\frac{y^{2}}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Étape 11.3.3

Comme $\frac{x^{2}}{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Étape 11.3.5

Associez $2$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Étape 11.3.6

Associez $\frac{2 x^{2}}{2}$ et $y$ .

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Étape 11.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Étape 11.3.7.2

Divisez $x^{2} y$ par $1$ .

$x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} y + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $x^{2} y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} y^{2} + 1}{y} - x^{2} y$

Étape 12.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.2.1

Divisez la fraction $\frac{x^{2} y^{2} + 1}{y}$ en deux fractions.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} y^{2}}{y} + \frac{1}{y} - x^{2} y$

Étape 12.1.2.2

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 12.1.2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x^{2} y)}{y} + \frac{1}{y} - x^{2} y$

Étape 12.1.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1.2.2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x^{2} y)}{y^{1}} + \frac{1}{y} - x^{2} y$

Étape 12.1.2.2.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x^{2} y)}{y \cdot 1} + \frac{1}{y} - x^{2} y$

Étape 12.1.2.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d y} = \frac{y (x^{2} y)}{y \cdot 1} + \frac{1}{y} - x^{2} y$

Étape 12.1.2.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} y}{1} + \frac{1}{y} - x^{2} y$

Étape 12.1.2.2.2.5

Divisez $x^{2} y$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + \frac{1}{y} - x^{2} y$

Étape 12.1.3

Associez les termes opposés dans $x^{2} y + \frac{1}{y} - x^{2} y$ .

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Étape 12.1.3.1

Soustrayez $x^{2} y$ de $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y} + 0$

Étape 12.1.3.2

Additionnez $\frac{1}{y}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $\frac{1}{y}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{1}{y} d y$

Étape 13.3

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$g (y) = \ln (| y |) + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \ln (| y |) + C$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \ln (| y |) + C$

Étape 15.2

Associez $\frac{y^{2}}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \ln (| y |) + C$