Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} + \frac{y}{t} = 3 t$ , $y (2) = 8$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ .

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $\frac{y}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} + y \frac{1}{t} = 3 t$

Étape 1.2

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{1}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{1}{t} y = 3 t$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = \frac{1}{t}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{1}{t} d t}$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{t}$ par rapport à $t$ est $\ln (| t |)$ .

$e^{\ln (| t |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\ln (t)}$

Étape 2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$t$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $t$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $t$ .

$t \frac{d y}{d t} + t (\frac{1}{t} y) = t (3 t)$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{t}$ et $y$ .

$t \frac{d y}{d t} + t \frac{y}{t} = t (3 t)$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$t \frac{d y}{d t} + t \frac{y}{t} = t (3 t)$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$t \frac{d y}{d t} + y = t (3 t)$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$t \frac{d y}{d t} + y = 3 t \cdot t$

Étape 3.4

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1

Déplacez $t$ .

$t \frac{d y}{d t} + y = 3 (t \cdot t)$

Étape 3.4.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$t \frac{d y}{d t} + y = 3 t^{2}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [t y] = 3 t^{2}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [t y] d t = \int 3 t^{2} d t$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$t y = \int 3 t^{2} d t$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$t y = 3 \int t^{2} d t$

Étape 7.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$t y = 3 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$

Étape 7.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.3.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{3} t^{3} + C)$ comme $3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$ .

$t y = 3 (\frac{1}{3}) t^{3} + C$

Étape 7.3.2

Simplifiez

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Étape 7.3.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$t y = \frac{3}{3} t^{3} + C$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$t y = \frac{3}{3} t^{3} + C$

Étape 7.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$t y = 1 t^{3} + C$

Étape 7.3.2.3

Multipliez $t^{3}$ par $1$ .

$t y = t^{3} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $t y = t^{3} + C$ par $t$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $t y = t^{3} + C$ par $t$ .

$\frac{t y}{t} = \frac{t^{3}}{t} + \frac{C}{t}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t y}{t} = \frac{t^{3}}{t} + \frac{C}{t}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{t^{3}}{t} + \frac{C}{t}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun à $t^{3}$ et $t$ .

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Étape 8.3.1.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{3}$ .

$y = \frac{t \cdot t^{2}}{t} + \frac{C}{t}$

Étape 8.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.2.1

Élevez $t$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{t \cdot t^{2}}{t^{1}} + \frac{C}{t}$

Étape 8.3.1.2.2

Factorisez $t$ à partir de $t^{1}$ .

$y = \frac{t \cdot t^{2}}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

Étape 8.3.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{t \cdot t^{2}}{t \cdot 1} + \frac{C}{t}$

Étape 8.3.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{t^{2}}{1} + \frac{C}{t}$

Étape 8.3.1.2.5

Divisez $t^{2}$ par $1$ .

$y = t^{2} + \frac{C}{t}$

Étape 9

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $t$ par $2$ et $y$ par $8$ dans $y = t^{2} + \frac{C}{t}$ .

$8 = 2^{2} + \frac{C}{2}$

Étape 10

Résolvez $C$ .

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Étape 10.1

Réécrivez l’équation comme $2^{2} + \frac{C}{2} = 8$ .

$2^{2} + \frac{C}{2} = 8$

Étape 10.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 + \frac{C}{2} = 8$

Étape 10.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $C$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.3.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{C}{2} = 8 - 4$

Étape 10.3.2

Soustrayez $4$ de $8$ .

$\frac{C}{2} = 4$

Étape 10.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{C}{2} = 2 \cdot 4$

Étape 10.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 10.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.5.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.5.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{C}{2} = 2 \cdot 4$

Étape 10.5.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$C = 2 \cdot 4$

Étape 10.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.5.2.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$C = 8$

Étape 11

Remplacez $C$ par $8$ dans $y = t^{2} + \frac{C}{t}$ et simplifiez.

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Étape 11.1

Remplacez $C$ par $8$ .

$y = t^{2} + \frac{8}{t}$