Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Étape 1.2

Comme $\frac{1}{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y}{x}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Étape 1.4

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = y^{3} - \ln (x)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3} - \ln (x)]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} - \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.2.2

Comme $y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{3}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{1}{x}$

Étape 2.4

Soustrayez $\frac{1}{x}$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{1}{x}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $\frac{1}{x}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $\frac{y}{x}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{y}{x}}$

Étape 4.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}) \frac{x}{y}$

Étape 4.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 - 1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Étape 4.3.4

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Étape 4.3.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Étape 4.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 \frac{1}{y}$

Étape 4.3.6

Associez $- 2$ et $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 2}{y}$

Étape 4.3.7

Remplacez $M$ par $\frac{y}{x}$ .

$- \frac{2}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Étape 5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- 2 \ln (| y |)$ en déplaçant $- 2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Étape 5.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{- 2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Étape 5.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $\frac{y}{x}$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Étape 6.2

Associez.

$\frac{y \cdot 1}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun à $y$ et $y^{2}$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1$ .

$\frac{y (1)}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Étape 6.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y^{2}$ .

$\frac{y (1)}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Étape 6.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \cdot 1}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Étape 6.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Étape 6.4

Multipliez $y^{3} - \ln (x)$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $y^{3} - \ln (x)$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x y} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = \frac{1}{x y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $\frac{1}{y}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{y}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int \frac{1}{x} d x$

Étape 8.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\ln (| x |) + C)$

Étape 8.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.3.1

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{1}{y} \ln (| x |) + C$

Étape 8.3.2

Associez $\frac{1}{y}$ et $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Étape 11

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)] = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1.1

Réécrivez.

$\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Étape 12.1.2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

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Étape 12.1.2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Étape 12.1.2.2

Comme $\frac{1}{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y}{x}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 12.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Étape 12.1.2.4

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Étape 12.1.3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = y^{3} - \ln (x)$ .

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Étape 12.1.3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3} - \ln (x)]$

Étape 12.1.3.2

Différenciez.

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Étape 12.1.3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{3} - \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 12.1.3.2.2

Comme $y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{3}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 12.1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Étape 12.1.3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 12.1.3.3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \frac{1}{x}$

Étape 12.1.3.4

Soustrayez $\frac{1}{x}$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{1}{x}$

Étape 12.1.4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 12.1.4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $\frac{1}{x}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$

Étape 12.1.4.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$\frac{1}{x} = - \frac{1}{x}$ n’est pas une identité.

Étape 12.1.5

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 12.1.5.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 12.1.5.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{M}$

Étape 12.1.5.3

Remplacez $M$ par $\frac{y}{x}$ .

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Étape 12.1.5.3.1

Remplacez $M$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}}{\frac{y}{x}}$

Étape 12.1.5.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$(- \frac{1}{x} - \frac{1}{x}) \frac{x}{y}$

Étape 12.1.5.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 - 1}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Étape 12.1.5.3.4

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Étape 12.1.5.3.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 12.1.5.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Étape 12.1.5.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 \frac{1}{y}$

Étape 12.1.5.3.6

Associez $- 2$ et $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 2}{y}$

Étape 12.1.5.3.7

Remplacez $M$ par $\frac{y}{x}$ .

$- \frac{2}{y}$

Étape 12.1.5.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Étape 12.1.6

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Étape 12.1.6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Étape 12.1.6.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 12.1.6.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 12.1.6.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 12.1.6.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Étape 12.1.6.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.6.6.1

Simplifiez $- 2 \ln (| y |)$ en déplaçant $- 2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Étape 12.1.6.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Étape 12.1.6.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{- 2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Étape 12.1.6.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Étape 12.1.7

Multipliez les deux côtés de $\frac{y}{x} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Étape 12.1.7.1

Multipliez $\frac{y}{x}$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Étape 12.1.7.2

Associez.

$\frac{y \cdot 1}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Étape 12.1.7.3

Annulez le facteur commun à $y$ et $y^{2}$ .

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Étape 12.1.7.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1$ .

$\frac{y (1)}{x y^{2}} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Étape 12.1.7.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1.7.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y^{2}$ .

$\frac{y (1)}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Étape 12.1.7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \cdot 1}{y (x y)} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Étape 12.1.7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) d y = 0$

Étape 12.1.7.4

Multipliez $y^{3} - \ln (x)$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + (y^{3} - \ln (x)) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Étape 12.1.7.5

Multipliez $y^{3} - \ln (x)$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{x y} d x + \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} d y = 0$

Étape 12.1.8

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x y} d x$

Étape 12.1.9

Intégrez $M (x, y) = \frac{1}{x y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 12.1.9.1

Comme $\frac{1}{y}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{y}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int \frac{1}{x} d x$

Étape 12.1.9.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\ln (| x |) + C)$

Étape 12.1.9.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1.9.3.1

Simplifiez

$f (x, y) = \frac{1}{y} \ln (| x |) + C$

Étape 12.1.9.3.2

Associez $\frac{1}{y}$ et $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + C$

Étape 12.1.10

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$

Étape 12.1.11

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Étape 12.1.12

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.1.12.1

Simplifiez $\frac{d}{d y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y))$ .

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Étape 12.1.12.1.1

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.12.1.1.1

Annulez le facteur commun de $d$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1.12.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)) = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Étape 12.1.12.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \cdot (\frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)) = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Étape 12.1.12.1.1.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{\ln (| x |)}{y} + g y$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |)}{y} + g y}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Étape 12.1.12.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.12.1.2.1

Pour écrire $g y$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |)}{y} + \frac{g y \cdot y}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Étape 12.1.12.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g y \cdot y}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Étape 12.1.12.1.2.3

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.1.12.1.2.3.1

Déplacez $y$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g (y \cdot y)}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Étape 12.1.12.1.2.3.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y}}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Étape 12.1.12.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Étape 12.1.12.1.4

Multipliez $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y} \cdot \frac{1}{y}$ .

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Étape 12.1.12.1.4.1

Multipliez $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y}$ par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y \cdot y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Étape 12.1.12.1.4.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1} y} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Étape 12.1.12.1.4.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1} y^{1}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Étape 12.1.12.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{1 + 1}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Étape 12.1.12.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$

Étape 12.1.13

Multiplier chaque terme dans $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$ par $y^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 12.1.13.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}}$ par $y^{2}$ .

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Étape 12.1.13.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.1.13.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 12.1.13.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (| x |) + g y^{2}}{y^{2}} y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Étape 12.1.13.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| x |) + g y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Étape 12.1.13.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.1.13.3.1

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 12.1.13.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| x |) + g y^{2} = \frac{y^{3} - \ln (x)}{y^{2}} y^{2}$

Étape 12.1.13.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| x |) + g y^{2} = y^{3} - \ln (x)$

Étape 12.1.14

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| x |) + \ln (x) = - g y^{2} + y^{3}$

Étape 12.1.15

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| x | x) = - g y^{2} + y^{3}$

Étape 12.1.16

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln (| x | x)$ .

$\ln (x | x |) = - g y^{2} + y^{3}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $- g y^{2} + y^{3}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\ln (x | x |) = - g y^{2} + y^{3}$ .

$\int \ln (x | x |) d y = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Étape 13.2

Réécrivez.

$0 + 0 + g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Étape 13.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Étape 13.4

Évaluez $\int \ln (x | x |) d y$ .

$g (y) = \int - g y^{2} + y^{3} d y$

Étape 13.5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (y) = \int - g y^{2} d y + \int y^{3} d y$

Étape 13.6

Comme $- g$ est constant par rapport à $y$ , placez $- g$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - g \int y^{2} d y + \int y^{3} d y$

Étape 13.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - g (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int y^{3} d y$

Étape 13.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = - g (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Étape 13.9

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$g (y) = - g (\frac{y^{3}}{3} + C) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Étape 13.10

Simplifiez

$g (y) = - \frac{y^{3} g}{3} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Étape 13.11

Simplifiez

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Étape 13.11.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3} g) + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Étape 13.11.2

Supprimez les parenthèses.

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3}) g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Étape 13.11.3

Supprimez les parenthèses.

$g (y) = - \frac{1}{3} y^{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{1}{3} y^{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1

Associez $y^{3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{y^{3}}{3} g + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Étape 15.2

Associez $g$ et $\frac{y^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{g y^{3}}{3} + \frac{1}{4} y^{4} + C$

Étape 15.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{\ln (| x |)}{y} - \frac{g y^{3}}{3} + \frac{y^{4}}{4} + C$