Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) d x + 4 x^{2} (y d) y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 x y^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y^{2}$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (2 y) + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + \frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y^{2}}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{x}{y^{2}}$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

Étape 1.4.2

Réécrivez $\frac{1}{y^{2}}$ comme ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

Étape 1.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = y^{- 1}$ et $g (y) = y^{2}$ .

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Étape 1.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 1.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 1.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Étape 1.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Étape 1.4.5

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 1.4.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Étape 1.4.5.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- y^{- 4} (2 y))$

Étape 1.4.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{- 4} y)$

Étape 1.4.7

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

Étape 1.4.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{1 - 4})$

Étape 1.4.9

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 y^{- 3})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- 2 \frac{1}{y^{3}})$

Étape 1.5.2

Associez des termes.

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Étape 1.5.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x \frac{- 2}{y^{3}}$

Étape 1.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y + x (- \frac{2}{y^{3}})$

Étape 1.5.2.3

Associez $x$ et $\frac{2}{y^{3}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - \frac{x \cdot 2}{y^{3}}$

Étape 1.5.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 4 x^{2} y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [4 x^{2} y]$

Étape 2.2

Comme $4 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2} y$ par rapport à $x$ est $4 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 y (2 x)$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 8 y x$

Étape 2.4.2

Réorganisez les facteurs de $8 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 8 x y$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $8 x y$ .

$4 x y - \frac{2 x}{y^{3}} = 8 x y$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$4 x y - \frac{2 x}{y^{3}} = 8 x y$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $8 x y$ .

$\frac{8 x y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}$ .

$\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ .

$\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$

Étape 4.3.2

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $y^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1

Multipliez $\frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$ par $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{y^{2}}{y^{2}} \cdot \frac{8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})}{2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}}$

Étape 4.3.2.2

Associez.

$\frac{y^{2} (8 x y - (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}})}$

Étape 4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + y^{2} \frac{x}{y^{2}}}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 4.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + y^{2} \frac{x}{y^{2}}}$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.5.1

Factorisez $y^{3}$ à partir de $y^{2} (8 x y) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))$ .

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Étape 4.3.5.1.1

Factorisez $y^{3}$ à partir de $y^{2} (8 x y)$ .

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.1.2

Factorisez $y^{3}$ à partir de $y^{2} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))$ .

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{3} (y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.1.3

Factorisez $y^{3}$ à partir de $y^{3} (y^{- 1} (8 x y)) + y^{3} (y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))$ .

$\frac{y^{3} (y^{- 1} (8 x y) + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y^{3} (8 y^{- 1} (x y) + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.3

Multipliez $y^{- 1}$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.5.3.1

Déplacez $y$ .

$\frac{y^{3} (8 (y \cdot y^{- 1}) x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.3.2

Multipliez $y$ par $y^{- 1}$ .

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Étape 4.3.5.3.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{3} (8 (y^{1} y^{- 1}) x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{3} (8 y^{1 - 1} x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.3.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{y^{3} (8 y^{0} x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.4

Simplifiez $8 y^{0} x$ .

$\frac{y^{3} (8 x + y^{- 1} (- (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}})))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y^{3} (8 x - y^{- 1} (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y^{3} (8 x - \frac{1}{y} (4 x y - \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y^{3} (8 x - \frac{1}{y} (4 x y) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.8

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.3.5.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (4 x y) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.8.2

Factorisez $y$ à partir de $4 x y$ .

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (y (4 x)) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.8.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{3} (8 x + \frac{- 1}{y} (y (4 x)) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.8.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{3} (8 x - (4 x) - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.9

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x - \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.10

Multipliez $- \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{y^{3}})$ .

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Étape 4.3.5.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + 1 \frac{1}{y} \frac{2 x}{y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.10.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{1}{y} \cdot \frac{2 x}{y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.10.3

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{2 x}{y^{3}}$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y \cdot y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.10.4

Multipliez $y$ par $y^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.5.10.4.1

Multipliez $y$ par $y^{3}$ .

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Étape 4.3.5.10.4.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{1} y^{3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.10.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{1 + 3}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.10.4.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{y^{3} (8 x - 4 x + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.11

Soustrayez $4 x$ de $8 x$ .

$\frac{y^{3} (4 x + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.12

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x + \frac{2 x}{y^{4}}$ .

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Étape 4.3.5.12.1

Factorisez $2 x$ à partir de $4 x$ .

$\frac{y^{3} (2 x (2) + \frac{2 x}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.12.2

Factorisez $2 x$ à partir de $\frac{2 x}{y^{4}}$ .

$\frac{y^{3} (2 x (2) + 2 x \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.12.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (2) + 2 x \frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{y^{3} (2 x (2 + \frac{1}{y^{4}}))}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

$\frac{y^{3} \cdot 2 x (2 + \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.13

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y^{4}}{y^{4}}$ .

$\frac{y^{3} \cdot 2 x (\frac{2 y^{4}}{y^{4}} + \frac{1}{y^{4}})}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.14

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y^{3} \cdot 2 x \frac{2 y^{4} + 1}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.15

Associez les exposants.

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Étape 4.3.5.15.1

Associez $y^{3}$ et $\frac{2 y^{4} + 1}{y^{4}}$ .

$\frac{2 x \frac{y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.15.2

Associez $2$ et $\frac{y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}$ .

$\frac{x \frac{2 (y^{3} (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.15.3

Associez $x$ et $\frac{2 (y^{3} (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}$ .

$\frac{\frac{x (2 (y^{3} (2 y^{4} + 1)))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.16

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{\frac{x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.17

Réduisez l’expression $\frac{x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)}{y^{4}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.3.5.17.1

Factorisez $y^{3}$ à partir de $x \cdot 2 y^{3} (2 y^{4} + 1)$ .

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{4}}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.17.2

Factorisez $y^{3}$ à partir de $y^{4}$ .

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{3} y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.17.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{y^{3} (x \cdot 2 (2 y^{4} + 1))}{y^{3} y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.17.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{x \cdot 2 (2 y^{4} + 1)}{y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.5.18

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{y^{2} (2 x y^{2}) + x}$

Étape 4.3.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.6.1

Factorisez $x$ à partir de $y^{2} (2 x y^{2}) + x$ .

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Étape 4.3.6.1.1

Factorisez $x$ à partir de $y^{2} (2 x y^{2})$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x}$

Étape 4.3.6.1.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x^{1}}$

Étape 4.3.6.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2})) + x \cdot 1}$

Étape 4.3.6.1.4

Factorisez $x$ à partir de $x (y^{2} (2 y^{2})) + x \cdot 1$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (y^{2} (2 y^{2}) + 1)}$

Étape 4.3.6.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{2} y^{2} + 1)}$

Étape 4.3.6.3

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.6.3.1

Déplacez $y^{2}$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 (y^{2} y^{2}) + 1)}$

Étape 4.3.6.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{2 + 2} + 1)}$

Étape 4.3.6.3.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y}}{x (2 y^{4} + 1)}$

Étape 4.3.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1)}{y} \cdot \frac{1}{x (2 y^{4} + 1)}$

Étape 4.3.8

Associez.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (x (2 y^{4} + 1))}$

Étape 4.3.9

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.3.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (x (2 y^{4} + 1))}$

Étape 4.3.9.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2 (2 y^{4} + 1)) \cdot 1}{y (2 y^{4} + 1)}$

Étape 4.3.10

Annulez le facteur commun de $2 y^{4} + 1$ .

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Étape 4.3.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 y^{4} + 1) \cdot 1}{y (2 y^{4} + 1)}$

Étape 4.3.10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(2) \cdot 1}{y}$

Étape 4.3.11

Remplacez $M$ par $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ .

$\frac{2}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $2 \ln (| y |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

Étape 5.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

Étape 5.4.3

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$ par le facteur d’intégration $y^{2}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}$ par $y^{2}$ .

$(2 x y^{2} + \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x y^{2} y^{2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $y^{2}$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.3.1

Déplacez $y^{2}$ .

$(2 x (y^{2} y^{2}) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Étape 6.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(2 x y^{2 + 2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Étape 6.3.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$(2 x y^{4} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Étape 6.4

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 6.4.1

Annulez le facteur commun.

$(2 x y^{4} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Étape 6.4.2

Réécrivez l’expression.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $4 x^{2} y$ par $y^{2}$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y \cdot y^{2} d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.6.1

Déplacez $y^{2}$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} (y^{2} y) d y = 0$

Étape 6.6.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 6.6.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} (y^{2} y^{1}) d y = 0$

Étape 6.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y^{2 + 1} d y = 0$

Étape 6.6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$(2 x y^{4} + x) d x + 4 x^{2} y^{3} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 4 x^{2} y^{3} d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = 4 x^{2} y^{3}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $4 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $4 x^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 4 x^{2} \int y^{3} d y$

Étape 8.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{3}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$f (x, y) = 4 x^{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Étape 8.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.3.1

Réécrivez $4 x^{2} (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ comme $4 x^{2} \frac{1}{4} y^{4} + C$ .

$f (x, y) = 4 x^{2} \frac{1}{4} y^{4} + C$

Étape 8.3.2

Simplifiez

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Étape 8.3.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = x^{2} \frac{4}{4} y^{4} + C$

Étape 8.3.2.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} \cdot 4}{4} y^{4} + C$

Étape 8.3.2.3

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{4 \cdot x^{2}}{4} y^{4} + C$

Étape 8.3.2.4

Multipliez $4$ par $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{4} y^{4} + C$

Étape 8.3.2.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 8.3.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{4 x^{2}}{4} y^{4} + C$

Étape 8.3.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y^{4} + x$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4} + g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y^{4} + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{4}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $y^{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y^{4}$ par rapport à $x$ est $y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Étape 11.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y^{4} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Étape 11.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $y^{4}$ .

$2 y^{4} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{4} + x$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{4} x + \frac{d g}{d x} = 2 x y^{4} + x$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{4} x = 2 x y^{4} + x$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $2 y^{4} x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y^{4} + x - 2 y^{4} x$

Étape 12.1.2

Associez les termes opposés dans $2 x y^{4} + x - 2 y^{4} x$ .

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Étape 12.1.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 x y^{4}$ et $- 2 y^{4} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{4} x + x - 2 y^{4} x$

Étape 12.1.2.2

Soustrayez $2 y^{4} x$ de $2 y^{4} x$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Étape 12.1.2.3

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Étape 13

Déterminez la primitive de $x$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Étape 13.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x^{2} y^{4} + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 15

Simplifiez $f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

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Étape 15.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{4} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Étape 15.2

Réorganisez les facteurs de $x^{2} y^{4}$ .

$f (x, y) = y^{4} x^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Étape 15.3

Pour écrire $y^{4} x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y^{4} x^{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Étape 15.4

Associez $y^{4} x^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Étape 15.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2} \cdot 2 + x^{2}}{2} + C$

Étape 15.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.6.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $y^{4} x^{2} \cdot 2 + x^{2}$ .

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Étape 15.6.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $y^{4} x^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2}}{2} + C$

Étape 15.6.1.2

Multipliez par $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2} \cdot 1}{2} + C$

Étape 15.6.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (y^{4} \cdot 2) + x^{2} \cdot 1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{4} \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Étape 15.6.2

Déplacez $2$ à gauche de $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y^{4} + 1)}{2} + C$