Calcul infinitésimal Exemples

$- \frac{y^{2}}{t^{2}} d t + \frac{2 y}{t} d y = 0$

Étape 1

Ajoutez $\frac{y^{2}}{t^{2}} d t$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{2 y}{t} d y = \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{t}{y^{2}}$ .

$\frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{2 y}{t} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Associez.

$\frac{t (2 y)}{y^{2} t} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t (2 y)}{y^{2} t} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 y}{y^{2}} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun à $y$ et $y^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$\frac{y \cdot 2}{y^{2}} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

Étape 3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{y \cdot 2}{y \cdot y} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \cdot 2}{y \cdot y} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

Étape 3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{y} d y = \frac{t}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{t^{2}} d t$

Étape 3.4

Associez.

$\frac{2}{y} d y = \frac{t y^{2}}{y^{2} t^{2}} d t$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun à $t$ et $t^{2}$ .

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Étape 3.5.1

Factorisez $t$ à partir de $t y^{2}$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{t (y^{2})}{y^{2} t^{2}} d t$

Étape 3.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.1

Factorisez $t$ à partir de $y^{2} t^{2}$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{t (y^{2})}{t (y^{2} t)} d t$

Étape 3.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{y} d y = \frac{t y^{2}}{t (y^{2} t)} d t$

Étape 3.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{y} d y = \frac{y^{2}}{y^{2} t} d t$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 3.6.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{y} d y = \frac{y^{2}}{y^{2} t} d t$

Étape 3.6.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{t} d t$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{2}{y} d y = \int \frac{1}{t} d t$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{t} d t$

Étape 4.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{1}{t} d t$

Étape 4.2.3

Simplifiez

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Étape 4.3

L’intégrale de $\frac{1}{t}$ par rapport à $t$ est $\ln (| t |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \ln (| t |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$2 \ln (| y |) = \ln (| t |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 \ln (| y |) - \ln (| t |) = C$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $2 \ln (| y |) - \ln (| t |)$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| y |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| t |) = C$

Étape 5.2.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (y^{2}) - \ln (| t |) = C$

Étape 5.2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{y^{2}}{| t |}) = C$

Étape 5.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{y^{2}}{| t |})} = e^{C}$

Étape 5.4

Réécrivez $\ln (\frac{y^{2}}{| t |}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y^{2}}{| t |}$

Étape 5.5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y^{2}}{| t |} = e^{C}$ .

$\frac{y^{2}}{| t |} = e^{C}$

Étape 5.5.2

Multipliez les deux côtés par $| t |$ .

$\frac{y^{2}}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.3.1

Annulez le facteur commun de $| t |$ .

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Étape 5.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2}}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

Étape 5.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = e^{C} | t |$

Étape 5.5.4

Résolvez $y$ .

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Étape 5.5.4.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{e^{C} | t |}$

Étape 5.5.4.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.4.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{e^{C} | t |}$

Étape 5.5.4.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{e^{C} | t |}$

Étape 5.5.4.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = - \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = - \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = - \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = - \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = \sqrt{e^{C} | t |}$

$y = - \sqrt{e^{C} | t |}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{C | t |}$

$y = - \sqrt{C | t |}$