Calcul infinitésimal Exemples

$x y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1}$ par $x y$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1}$ par $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Étape 1.1.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{2} + 1}{y + 1}}{x y}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{y + 1} \cdot \frac{1}{x y}$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $\frac{x^{2} + 1}{y + 1}$ par $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{(y + 1) (x y)}$

Étape 1.1.3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{x^{2} + 1}{(y + 1) x y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x y (y + 1)}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $y (y + 1)$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = y (y + 1) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y \cdot y + y \cdot 1) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

Étape 1.4.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + y \cdot 1) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

Étape 1.4.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + y) (\frac{x^{2} + 1}{x} \cdot \frac{1}{y (y + 1)})$

Étape 1.4.4

Multipliez $\frac{x^{2} + 1}{x}$ par $\frac{1}{y (y + 1)}$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + y) \frac{x^{2} + 1}{x (y (y + 1))}$

Étape 1.4.5

Multipliez $y^{2} + y$ par $\frac{x^{2} + 1}{x y (y + 1)}$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} + y) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Étape 1.4.6

Factorisez $y$ à partir de $y^{2} + y$ .

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Étape 1.4.6.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot y + y) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Étape 1.4.6.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot y + y^{1}) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Étape 1.4.6.3

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot y + y \cdot 1) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Étape 1.4.6.4

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot y + y \cdot 1$ .

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{y (y + 1) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Étape 1.4.7

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.7.1

Annulez le facteur commun.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{y (y + 1) (x^{2} + 1)}{x y (y + 1)}$

Étape 1.4.7.2

Réécrivez l’expression.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (x^{2} + 1)}{x (y + 1)}$

Étape 1.4.8

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 1.4.8.1

Annulez le facteur commun.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (x^{2} + 1)}{x (y + 1)}$

Étape 1.4.8.2

Réécrivez l’expression.

$y (y + 1) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 1}{x}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$y (y + 1) d y = \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y (y + 1) d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Multipliez $y (y + 1)$ .

$\int y \cdot y + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int y^{1} y + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 2.2.2.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int y^{1} y^{1} + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 2.2.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int y^{1 + 1} + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 2.2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int y^{2} + y \cdot 1 d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 2.2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$\int y^{2} + y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 2.2.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y^{2} d y + \int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 2.2.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int y d y = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 2.2.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x^{2} + 1}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x^{2}}{x} + \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x^{2}}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int \frac{x}{1} d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.3.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x d x + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5}$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} x^{2} + \ln (| x |) + C$