Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{x} d y = \sqrt{y} d x$

Étape 1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sqrt{x y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Étape 2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x y}}$ par $\frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{x y}} \cdot \frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x y}}$ par $\frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}}$ .

$\frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y} \sqrt{x y}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.2.2

Élevez $\sqrt{x y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1} \sqrt{x y}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.2.3

Élevez $\sqrt{x y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1} {\sqrt{x y}}^{1}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1 + 1}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{2}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.2.6

Réécrivez ${\sqrt{x y}}^{2}$ comme $x y$ .

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Étape 2.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x y}$ comme ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{x y}}{{({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{2}{2}}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{2}{2}}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{x y}}{{(x y)}^{1}} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.2.6.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{x y}}{x y} \sqrt{x} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.3

Multipliez $\frac{\sqrt{x y}}{x y} \sqrt{x}$ .

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Étape 2.3.1

Associez $\frac{\sqrt{x y}}{x y}$ et $\sqrt{x}$ .

$\frac{\sqrt{x y} \sqrt{x}}{x y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.3.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{x y x}}{x y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{1} x y}}{x y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.3.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{1} x^{1} y}}{x y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.3.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{x^{1 + 1} y}}{x y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{x^{2} y}}{x y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{x \sqrt{y}}{x y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \sqrt{y}}{x y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x y}}$ par $\frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}}$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{1}{\sqrt{x y}} \cdot \frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{x y}}$ par $\frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y}}$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{\sqrt{x y} \sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.7.2

Élevez $\sqrt{x y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1} \sqrt{x y}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.7.3

Élevez $\sqrt{x y}$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1} {\sqrt{x y}}^{1}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{1 + 1}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{\sqrt{x y}}^{2}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.7.6

Réécrivez ${\sqrt{x y}}^{2}$ comme $x y$ .

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Étape 2.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x y}$ comme ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{2}{2}}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{(x y)}^{\frac{2}{2}}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{{(x y)}^{1}} \sqrt{y} d x$

Étape 2.7.6.5

Simplifiez

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y}}{x y} \sqrt{y} d x$

Étape 2.8

Multipliez $\frac{\sqrt{x y}}{x y} \sqrt{y}$ .

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Étape 2.8.1

Associez $\frac{\sqrt{x y}}{x y}$ et $\sqrt{y}$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y} \sqrt{y}}{x y} d x$

Étape 2.8.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y \cdot y}}{x y} d x$

Étape 2.8.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x (y^{1} y)}}{x y} d x$

Étape 2.8.4

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x (y^{1} y^{1})}}{x y} d x$

Étape 2.8.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y^{1 + 1}}}{x y} d x$

Étape 2.8.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x y^{2}}}{x y} d x$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $y^{2}$ .

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{y^{2} x}}{x y} d x$

Étape 2.9.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{y \sqrt{x}}{x y} d x$

Étape 2.10

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{y \sqrt{x}}{x y} d x$

Étape 2.10.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{y}}{y} d y = \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{\sqrt{y}}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Étape 3.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{y^{\frac{1}{2}}}{y} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Étape 3.2.1.2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

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Étape 3.2.1.2.1

Placez $y^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int \frac{1}{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Étape 3.2.1.2.2

Multipliez $y$ par $y^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.2.2.1

Multipliez $y$ par $y^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.2.1.2.2.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{1}{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Étape 3.2.1.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{1}{y^{1 - \frac{1}{2}}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Étape 3.2.1.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\int \frac{1}{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Étape 3.2.1.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\int \frac{1}{y^{\frac{2 - 1}{2}}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Étape 3.2.1.2.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Étape 3.2.1.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.2.1.3.1

Retirez $y^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Étape 3.2.1.3.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Étape 3.2.1.3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Étape 3.2.1.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Étape 3.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $y$ est $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Étape 3.3.1.2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

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Étape 3.3.1.2.1

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.2.2.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.3.1.2.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Étape 3.3.1.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Étape 3.3.1.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Étape 3.3.1.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Étape 3.3.1.2.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 3.3.1.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.3.1.3.1

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 3.3.1.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.3.1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 3.3.1.3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 3.3.1.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 3.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{\frac{1}{2}} + K$

Étape 4

Résolvez $y$ .

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Étape 4.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 4.1.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{\frac{1}{2}} = 2 x^{\frac{1}{2}} + K$ par $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 4.1.2.2

Divisez $y^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 4.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 4.1.3.1.2

Divisez $x^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2}$

Étape 4.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 4.3

Simplifiez l’exposant.

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Étape 4.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.3.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 4.3.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 4.3.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 4.3.1.1.2

Simplifiez

$y = {(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})}^{2}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Réécrivez ${(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})}^{2}$ comme $(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2}) (x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})$ .

$y = (x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2}) (x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})$

Étape 4.3.2.1.2

Développez $(x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2}) (x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})$

Étape 4.3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2})$

Étape 4.3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 4.3.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.1.3.1.1

Multipliez $x^{\frac{1}{2}}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.3.2.1.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 4.3.2.1.3.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = x^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 4.3.2.1.3.1.1.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = x^{\frac{2}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 4.3.2.1.3.1.1.4

Divisez $2$ par $2$ .

$y = x^{1} + x^{\frac{1}{2}} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 4.3.2.1.3.1.2

Simplifiez $x^{1}$ .

$y = x + x^{\frac{1}{2}} \frac{K}{2} + \frac{K}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 4.3.2.1.3.1.3

Associez $x^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{K}{2}$ .

$y = x + \frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2} + \frac{K}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 4.3.2.1.3.1.4

Associez $\frac{K}{2}$ et $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x + \frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2} + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Étape 4.3.2.1.3.1.5

Multipliez $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.3.1.5.1

Multipliez $\frac{K}{2}$ par $\frac{K}{2}$ .

$y = x + \frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2} + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.2.1.3.1.5.2

Élevez $K$ à la puissance $1$ .

$y = x + \frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2} + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.2.1.3.1.5.3

Élevez $K$ à la puissance $1$ .

$y = x + \frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2} + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.2.1.3.1.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = x + \frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2} + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.2.1.3.1.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = x + \frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2} + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.2.1.3.1.5.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = x + \frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2} + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 4.3.2.1.3.2

Additionnez $\frac{x^{\frac{1}{2}} K}{2}$ et $\frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x^{\frac{1}{2}}$ et $K$ .

$y = x + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 4.3.2.1.3.2.2

Additionnez $\frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $\frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$y = x + 2 \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 4.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = x + 2 \frac{K x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 4.3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = x + K x^{\frac{1}{2}} + \frac{K^{2}}{4}$

Étape 4.4

Simplifiez $x + K x^{\frac{1}{2}} + \frac{K^{2}}{4}$ .

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Étape 4.4.1

Déplacez $K x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = x + \frac{K^{2}}{4} + K x^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.4.2

Remettez dans l’ordre $x$ et $\frac{K^{2}}{4}$ .

$y = \frac{K^{2}}{4} + x + K x^{\frac{1}{2}}$

Étape 5

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = K + x + K x^{\frac{1}{2}}$