Calcul infinitésimal Exemples

$2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}}) d x + (x^{2} + 3 y^{2} + e^{- x^{2}}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})]$

Étape 1.2

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [3 x + y - y e^{- x^{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [3 x + y - y e^{- x^{2}}]$

Étape 1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + y - y e^{- x^{2}}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y e^{- x^{2}}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y e^{- x^{2}}])$

Étape 1.4

Comme $3 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y e^{- x^{2}}])$

Étape 1.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y e^{- x^{2}}])$

Étape 1.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (1 + \frac{d}{d y} [- y e^{- x^{2}}])$

Étape 1.7

Comme $- e^{- x^{2}}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y e^{- x^{2}}$ par rapport à $y$ est $- e^{- x^{2}} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (1 - e^{- x^{2}} \frac{d}{d y} [y])$

Étape 1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (1 - e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Étape 1.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (1 - e^{- x^{2}})$

Étape 1.10

Simplifiez

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Étape 1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + 2 x (- e^{- x^{2}})$

Étape 1.10.2

Associez des termes.

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Étape 1.10.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 2 x (- e^{- x^{2}})$

Étape 1.10.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 2 x e^{- x^{2}}$

Étape 1.10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 e^{- x^{2}} x + 2 x$

Étape 1.10.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{- x^{2}} x + 2 x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x e^{- x^{2}} + 2 x$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x^{2} + 3 y^{2} + e^{- x^{2}}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 y^{2} + e^{- x^{2}}]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3 y^{2} + e^{- x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Étape 2.2.3

Comme $3 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0 + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0 + e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0 + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0 + e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0 + e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Étape 2.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0 + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Étape 2.4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 e^{- x^{2}} x + 2 x$

Étape 2.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 e^{- x^{2}} x + 2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x e^{- x^{2}} + 2 x$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2 x e^{- x^{2}} + 2 x$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2 x e^{- x^{2}} + 2 x$ .

$- 2 x e^{- x^{2}} + 2 x = - 2 x e^{- x^{2}} + 2 x$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$- 2 x e^{- x^{2}} + 2 x = - 2 x e^{- x^{2}} + 2 x$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} + 3 y^{2} + e^{- x^{2}} d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = x^{2} + 3 y^{2} + e^{- x^{2}}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int x^{2} d y + \int 3 y^{2} d y + \int e^{- x^{2}} d y$

Étape 5.2

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x^{2} y + C + \int 3 y^{2} d y + \int e^{- x^{2}} d y$

Étape 5.3

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 \int y^{2} d y + \int e^{- x^{2}} d y$

Étape 5.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int e^{- x^{2}} d y$

Étape 5.5

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + e^{- x^{2}} y + C$

Étape 5.6

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$f (x, y) = x^{2} y + C + 3 (\frac{y^{3}}{3} + C) + e^{- x^{2}} y + C$

Étape 5.7

Simplifiez

$f (x, y) = x^{2} y + y^{3} + e^{- x^{2}} y + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + y^{3} + e^{- x^{2}} y + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + y^{3} + e^{- x^{2}} y + g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y + y^{3} + e^{- x^{2}} y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Étape 8.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Étape 8.4

Comme $y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{3}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 y x + 0 + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Étape 8.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y]$ .

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Étape 8.5.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $e^{- x^{2}} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

$2 y x + 0 + y \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Étape 8.5.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{2}$ .

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Étape 8.5.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{2}$ .

$2 y x + 0 + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Étape 8.5.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 y x + 0 + y (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Étape 8.5.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{2}$ .

$2 y x + 0 + y (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Étape 8.5.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 y x + 0 + y (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Étape 8.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 y x + 0 + y (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Étape 8.5.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 y x + 0 + y e^{- x^{2}} (- 2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Étape 8.6

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + 0 + y e^{- x^{2}} (- 2 x) + \frac{d g}{d x} = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Étape 8.7

Simplifiez

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Étape 8.7.1

Additionnez $2 y x$ et $0$ .

$2 y x + y e^{- x^{2}} (- 2 x) + \frac{d g}{d x} = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Étape 8.7.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 e^{- x^{2}} x y = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Étape 8.7.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 e^{- x^{2}} x y$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1.1

Simplifiez $2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$ .

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Étape 9.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 0 + 0 + 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Étape 9.1.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 x (3 x + y - y e^{- x^{2}})$

Étape 9.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 x (3 x) + 2 x y + 2 x (- y e^{- x^{2}})$

Étape 9.1.1.4

Simplifiez

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Étape 9.1.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 \cdot 3 x \cdot x + 2 x y + 2 x (- y e^{- x^{2}})$

Étape 9.1.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 \cdot 3 x \cdot x + 2 x y - 2 x (y e^{- x^{2}})$

Étape 9.1.1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1.5.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.1.1.5.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 \cdot 3 (x \cdot x) + 2 x y - 2 x (y e^{- x^{2}})$

Étape 9.1.1.5.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 2 \cdot 3 x^{2} + 2 x y - 2 x (y e^{- x^{2}})$

Étape 9.1.1.5.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 6 x^{2} + 2 x y - 2 x (y e^{- x^{2}})$

Étape 9.1.1.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $6 x^{2} + 2 x y - 2 x (y e^{- x^{2}})$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} = 6 x^{2} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}}$

Étape 9.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.2.1

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 6 x^{2} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} - 2 x y$

Étape 9.1.2.2

Ajoutez $2 x y e^{- x^{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} - 2 x y + 2 x y e^{- x^{2}}$

Étape 9.1.2.3

Associez les termes opposés dans $6 x^{2} + 2 x y - 2 x y e^{- x^{2}} - 2 x y + 2 x y e^{- x^{2}}$ .

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Étape 9.1.2.3.1

Soustrayez $2 x y$ de $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2} - 2 x y e^{- x^{2}} + 0 + 2 x y e^{- x^{2}}$

Étape 9.1.2.3.2

Additionnez $6 x^{2} - 2 x y e^{- x^{2}}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2} - 2 x y e^{- x^{2}} + 2 x y e^{- x^{2}}$

Étape 9.1.2.3.3

Additionnez $- 2 x y e^{- x^{2}}$ et $2 x y e^{- x^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2} + 0$

Étape 9.1.2.3.4

Additionnez $6 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x^{2}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $6 x^{2}$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 6 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x^{2} d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x^{2} d x$

Étape 10.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 6 \int x^{2} d x$

Étape 10.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 10.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.5.1

Réécrivez $6 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ comme $6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Étape 10.5.2

Simplifiez

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Étape 10.5.2.1

Associez $6$ et $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{6}{3} x^{3} + C$

Étape 10.5.2.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 10.5.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + C$

Étape 10.5.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.5.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + C$

Étape 10.5.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$g (x) = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + C$

Étape 10.5.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$g (x) = \frac{2}{1} x^{3} + C$

Étape 10.5.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$g (x) = 2 x^{3} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x^{2} y + y^{3} + e^{- x^{2}} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + y^{3} + e^{- x^{2}} y + 2 x^{3} + C$

Étape 12

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = x^{2} y + y^{3} + e^{- x^{2}} y + 2 x^{3} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} y + y^{3} + y e^{- x^{2}} + 2 x^{3} + C$