Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + y = \sin (x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $\cos (x) \frac{d y}{d x} + y = \sin (x)$ par $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 1.3

Factorisez $y$ à partir de $\frac{y}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 1.4

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{\cos (x)} y = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{1}{\cos (x)} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{1}{\cos (x)}$ .

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Étape 2.2.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$e^{\int \sec (x) d x}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\ln (\sec (x) + \tan (x))}$

Étape 2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\sec (x) + \tan (x)$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\sec (x) + \tan (x)$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\sec (x) + \tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} y) = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)) \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} y) = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$(\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} y) = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} y) = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.2.3

Associez $\frac{1}{\cos (x)}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{d y}{d x} + (\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} y) = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + (\sec (x) + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} y) = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.5.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + (\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)) (\frac{1}{\cos (x)} y) = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.2.5.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\cos (x)} y) = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.2.6

Associez $\frac{1}{\cos (x)}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{y}{\cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.2.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.2.8

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)}$ .

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Étape 3.2.8.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{y}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.2.8.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.2.8.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.2.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.2.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.2.9

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{y}{\cos (x)}$ .

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Étape 3.2.9.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{y}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.2.9.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.2.9.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.2.9.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{{\cos (x)}^{1 + 1}} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.2.9.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = (\sec (x) + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = (\frac{1}{\cos (x)} + \tan (x)) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 3.5.1

Multipliez $\frac{1}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.5.2

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.5.3

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 3.6

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 3.6.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Étape 3.6.2

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

Étape 3.6.3

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

Étape 3.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Étape 3.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

Étape 3.6.6

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

Étape 3.6.7

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

Étape 3.6.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

Étape 3.6.9

Additionnez $1$ et $1$ .

Étape 3.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.1

Séparez les fractions.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.7.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \sec (x) + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.7.3

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) \frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.7.4

Séparez les fractions.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.7.5

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\frac{d y}{d x}}{1} \tan (x) + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.7.6

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + \frac{y}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.7.7

Multipliez par $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + \frac{y}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.7.8

Séparez les fractions.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + \frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.7.9

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ à $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + \frac{y}{1} \sec^{2} (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.7.10

Divisez $y$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.7.11

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.7.12

Séparez les fractions.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + \frac{y}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.7.13

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + \frac{y}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.7.14

Séparez les fractions.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + \frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.7.15

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + \frac{y}{1} \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.7.16

Divisez $y$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.1

Factorisez $\cos (x)$ à partir de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.8.2

Séparez les fractions.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.8.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + y \sec (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.8.4

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x) + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Étape 3.8.5

Convertissez de $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ à $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

Étape 3.9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{d y}{d x} \tan (x) + y \sec^{2} (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \tan (x) \frac{d y}{d x} + y \sec^{2} (x) + y \sec (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [(\sec (x) + \tan (x)) y] = \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [(\sec (x) + \tan (x)) y] d x = \int \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \int \sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \int \sec (x) \tan (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Étape 7.2

Comme la dérivée de $\sec (x)$ est $\sec (x) \tan (x)$ , l’intégrale de $\sec (x) \tan (x)$ est $\sec (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int \tan^{2} (x) d x$

Étape 7.3

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (x)$ comme $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int - 1 + \sec^{2} (x) d x$

Étape 7.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C + \int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 7.5

Appliquez la règle de la constante.

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C - x + C + \int \sec^{2} (x) d x$

Étape 7.6

Comme la dérivée de $\tan (x)$ est $\sec^{2} (x)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (x)$ est $\tan (x)$ .

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) + C - x + C + \tan (x) + C$

Étape 7.7

Simplifiez

$(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$ par $\sec (x) + \tan (x)$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $(\sec (x) + \tan (x)) y = \sec (x) - x + \tan (x) + C$ par $\sec (x) + \tan (x)$ .

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) y}{\sec (x) + \tan (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $\sec (x) + \tan (x)$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(\sec (x) + \tan (x)) y}{\sec (x) + \tan (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{- x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 8.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\sec (x) - x}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 8.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\sec (x) - x + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{C}{\sec (x) + \tan (x)}$

Étape 8.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\sec (x) - x + \tan (x) + C}{\sec (x) + \tan (x)}$