Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = \frac{1}{x y^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1.1.1

Soustrayez $\frac{1}{x y^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y - \frac{1}{x y^{2}} = 0$

Étape 1.1.1.2

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} - \frac{1}{x y^{2}} = 0$

Étape 1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d y}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.2.1

Soustrayez $\frac{y}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x y^{2}} = - \frac{y}{x}$

Étape 1.1.2.2

Ajoutez $\frac{1}{x y^{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x y^{2}}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Pour écrire $- \frac{y}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} + \frac{1}{x y^{2}}$

Étape 1.2.2

Multipliez $\frac{y}{x}$ par $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y \cdot y^{2}}{x y^{2}} + \frac{1}{x y^{2}}$

Étape 1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y \cdot y^{2} + 1}{x y^{2}}$

Étape 1.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.4.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.4.1.1

Déplacez $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2} y) + 1}{x y^{2}}$

Étape 1.2.4.1.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 1.2.4.1.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- (y^{2} y^{1}) + 1}{x y^{2}}$

Étape 1.2.4.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2 + 1} + 1}{x y^{2}}$

Étape 1.2.4.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{3} + 1}{x y^{2}}$

Étape 1.2.4.2

Réécrivez $- y^{3}$ comme ${(- y)}^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(- y)}^{3} + 1}{x y^{2}}$

Étape 1.2.4.3

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(- y)}^{3} + 1^{3}}{x y^{2}}$

Étape 1.2.4.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = - y$ et $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) ({(- y)}^{2} - - y \cdot 1 + 1^{2})}{x y^{2}}$

Étape 1.2.4.5

Simplifiez

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Étape 1.2.4.5.1

Appliquez la règle de produit à $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) ({(- 1)}^{2} y^{2} - - y \cdot 1 + 1^{2})}{x y^{2}}$

Étape 1.2.4.5.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (1 y^{2} - - y \cdot 1 + 1^{2})}{x y^{2}}$

Étape 1.2.4.5.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (y^{2} - - y \cdot 1 + 1^{2})}{x y^{2}}$

Étape 1.2.4.5.4

Multipliez $- - y$ .

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Étape 1.2.4.5.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (y^{2} + 1 y \cdot 1 + 1^{2})}{x y^{2}}$

Étape 1.2.4.5.4.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (y^{2} + y \cdot 1 + 1^{2})}{x y^{2}}$

Étape 1.2.4.5.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (y^{2} + y + 1^{2})}{x y^{2}}$

Étape 1.2.4.5.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)}{x y^{2}}$

Étape 1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)}$ .

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} (\frac{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Associez.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \cdot \frac{(- y + 1) (y^{2} + y + 1) \cdot 1}{y^{2} x}$

Étape 1.5.2

Associez.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} ((- y + 1) (y^{2} + y + 1) \cdot 1)}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} x)}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} ((- y + 1) (y^{2} + y + 1) \cdot 1)}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1) (y^{2} x)}$

Étape 1.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (y^{2} + y + 1) \cdot 1}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1) (x)}$

Étape 1.5.4

Annulez le facteur commun de $- y + 1$ .

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Étape 1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{(- y + 1) (y^{2} + y + 1) \cdot 1}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1) x}$

Étape 1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} + y + 1) \cdot 1}{(y^{2} + y + 1) (x)}$

Étape 1.5.5

Annulez le facteur commun de $y^{2} + y + 1$ .

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Étape 1.5.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{2} + y + 1) \cdot 1}{(y^{2} + y + 1) x}$

Étape 1.5.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y^{2}}{(- y + 1) (y^{2} + y + 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = (- y + 1) (y^{2} + y + 1)$ . Alors $d u = - 3 y^{2} d y$ , donc $- \frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = (- y + 1) (y^{2} + y + 1)$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $(- y + 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(- y + 1) (y^{2} + y + 1)]$

Étape 2.2.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ est $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ où $f (y) = - y + 1$ et $g (y) = y^{2} + y + 1$ .

$(- y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2} + y + 1] + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [- y + 1]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez.

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Étape 2.2.1.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$(- y + 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [- y + 1]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(- y + 1) (2 y + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [- y + 1]$

Étape 2.2.1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(- y + 1) (2 y + 1 + \frac{d}{d y} [1]) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [- y + 1]$

Étape 2.2.1.1.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$(- y + 1) (2 y + 1 + 0) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [- y + 1]$

Étape 2.2.1.1.3.5

Additionnez $2 y + 1$ et $0$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) \frac{d}{d y} [- y + 1]$

Étape 2.2.1.1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (\frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])$

Étape 2.2.1.1.3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (- \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Étape 2.2.1.1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])$

Étape 2.2.1.1.3.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (- 1 + \frac{d}{d y} [1])$

Étape 2.2.1.1.3.10

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) (- 1 + 0)$

Étape 2.2.1.1.3.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1.3.11.1

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) + (y^{2} + y + 1) \cdot - 1$

Étape 2.2.1.1.3.11.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y^{2} + y + 1$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) - 1 \cdot (y^{2} + y + 1)$

Étape 2.2.1.1.3.11.3

Réécrivez $- 1 (y^{2} + y + 1)$ comme $- (y^{2} + y + 1)$ .

$(- y + 1) (2 y + 1) - (y^{2} + y + 1)$

Étape 2.2.1.1.4

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(- y + 1) (2 y + 1) - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$(- y + 1) (2 y) + (- y + 1) \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$- y (2 y) + 1 (2 y) + (- y + 1) \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$- y (2 y) + 1 (2 y) - y \cdot 1 + 1 \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.4.5

Associez des termes.

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Étape 2.2.1.1.4.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 y \cdot y + 1 (2 y) - y \cdot 1 + 1 \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.4.5.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- 2 (y^{1} y) + 1 (2 y) - y \cdot 1 + 1 \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.4.5.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- 2 (y^{1} y^{1}) + 1 (2 y) - y \cdot 1 + 1 \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.4.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 2 y^{1 + 1} + 1 (2 y) - y \cdot 1 + 1 \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.4.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 2 y^{2} + 1 (2 y) - y \cdot 1 + 1 \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.4.5.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 2 y^{2} + 2 y - y \cdot 1 + 1 \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.4.5.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 y^{2} + 2 y - y + 1 \cdot 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.4.5.8

Multipliez $1$ par $1$ .

$- 2 y^{2} + 2 y - y + 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.4.5.9

Soustrayez $y$ de $2 y$ .

$- 2 y^{2} + y + 1 - y^{2} - y - 1 \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.4.5.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 2 y^{2} + y + 1 - y^{2} - y - 1$

Étape 2.2.1.1.4.5.11

Soustrayez $y^{2}$ de $- 2 y^{2}$ .

$- 3 y^{2} + y + 1 - y - 1$

Étape 2.2.1.1.4.5.12

Soustrayez $y$ de $y$ .

$- 3 y^{2} + 0 + 1 - 1$

Étape 2.2.1.1.4.5.13

Additionnez $- 3 y^{2}$ et $0$ .

$- 3 y^{2} + 1 - 1$

Étape 2.2.1.1.4.5.14

Soustrayez $1$ de $1$ .

$- 3 y^{2} + 0$

Étape 2.2.1.1.4.5.15

Additionnez $- 3 y^{2}$ et $0$ .

$- 3 y^{2}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2.3

Déplacez $3$ à gauche de $u$ .

$\int - \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $(- y + 1) (y^{2} + y + 1)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (- y + 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (- y + 1) (y^{2} + y + 1) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (- y + 1) (y^{2} + y + 1) |) = \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| (- y + 1) (y^{2} + y + 1) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| (- y + 1) (y^{2} + y + 1) |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Développez $(- y + 1) (y^{2} + y + 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y \cdot y^{2} - y \cdot y - y \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1.2.1.1

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.1.2.1.1.1

Déplacez $y^{2}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - (y^{2} y) - y \cdot y - y \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.1.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1.1.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - (y^{2} y^{1}) - y \cdot y - y \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{2 + 1} - y \cdot y - y \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - y \cdot y - y \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.1.2.1.2.1

Déplacez $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - (y \cdot y) - y \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - y^{2} - y \cdot 1 + 1 y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - y^{2} - y + 1 y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.4

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - y^{2} - y + y^{2} + 1 y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - y^{2} - y + y^{2} + y + 1 \cdot 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - y^{2} - y + y^{2} + y + 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1.1.2.2.1

Associez les termes opposés dans $- y^{3} - y^{2} - y + y^{2} + y + 1$ .

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Étape 3.2.1.1.2.2.1.1

Additionnez $- y^{2}$ et $y^{2}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - y + 0 + y + 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2.1.2

Additionnez $- y^{3} - y$ et $0$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} - y + y + 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2.1.3

Additionnez $- y$ et $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} + 0 + 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2.1.4

Additionnez $- y^{3}$ et $0$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| - y^{3} + 1 |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2.2

Associez $\ln (| - y^{3} + 1 |)$ et $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| - y^{3} + 1 |)}{3}) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (| - y^{3} + 1 |)}{3}$ dans le numérateur.

$- 3 \frac{- \ln (| - y^{3} + 1 |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2.3.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- \ln (| - y^{3} + 1 |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - y^{3} + 1 |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$- - \ln (| - y^{3} + 1 |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2.4

Multipliez.

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Étape 3.2.1.1.2.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \ln (| - y^{3} + 1 |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2.4.2

Multipliez $\ln (| - y^{3} + 1 |)$ par $1$ .

$\ln (| - y^{3} + 1 |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| - y^{3} + 1 |) = - 3 \ln (| x |) - 3 C$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| - y^{3} + 1 |) + 3 \ln (| x |) = - 3 C$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Simplifiez $\ln (| - y^{3} + 1 |) + 3 \ln (| x |)$ .

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Étape 3.4.1.1

Simplifiez $3 \ln (| x |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\ln (| - y^{3} + 1 |) + \ln ({| x |}^{3}) = - 3 C$

Étape 3.4.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3}) = - 3 C$

Étape 3.5

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3})} = e^{- 3 C}$

Étape 3.6

Réécrivez $\ln (| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3}) = - 3 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 C} = | - y^{3} + 1 | {| x |}^{3}$

Étape 3.7

Résolvez $y$ .

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Étape 3.7.1

Réécrivez l’équation comme $| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ .

$| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$

Étape 3.7.2

Divisez chaque terme dans $| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ par ${| x |}^{3}$ et simplifiez.

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Étape 3.7.2.1

Divisez chaque terme dans $| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ par ${| x |}^{3}$ .

$\frac{| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Étape 3.7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.2.2.1

Annulez le facteur commun de ${| x |}^{3}$ .

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Étape 3.7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| - y^{3} + 1 | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Étape 3.7.2.2.1.2

Divisez $| - y^{3} + 1 |$ par $1$ .

$| - y^{3} + 1 | = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Étape 3.7.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$- y^{3} + 1 = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Étape 3.7.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$

Étape 3.7.5

Divisez chaque terme dans $- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.7.5.1

Divisez chaque terme dans $- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.7.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.7.5.2.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.7.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.7.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.5.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.7.5.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ comme $- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ .

$y^{3} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.7.5.3.1.3

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$y^{3} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 1$

Étape 3.7.6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 1}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt[3]{- (\pm \frac{C}{{| x |}^{3}}) + 1}$

Étape 4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = \sqrt[3]{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 1}$