Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Étape 1.2

Comme $\frac{1}{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y}{x}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Étape 1.4

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + \ln (| x |)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Étape 2.2.2

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = | x |$ .

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Étape 2.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

Étape 2.3.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

Étape 2.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

Étape 2.3.2

La dérivée de $| x |$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

Étape 2.3.3

Multipliez $\frac{1}{| x |}$ par $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

Étape 2.3.4

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

Étape 2.3.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

Étape 2.3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

Étape 2.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

Étape 2.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Additionnez $0$ et $\frac{x}{| x^{2} |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

Étape 2.4.2

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

Étape 2.4.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 2.4.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

Étape 2.4.3.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 2.4.3.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Étape 2.4.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Étape 2.4.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $\frac{1}{x}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = \frac{y}{x}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , placez $y$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

Étape 5.3

Simplifiez

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Étape 8

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [y \ln (| x |) + g (y)] = y^{2} + \ln (| x |)$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1.1

Réécrivez.

$\frac{y}{x} d x + (y^{2} + \ln (| x |)) d y = 0$

Étape 9.1.2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = \frac{y}{x}$ .

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Étape 9.1.2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Étape 9.1.2.2

Comme $\frac{1}{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y}{x}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 9.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x} \cdot 1$

Étape 9.1.2.4

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Étape 9.1.3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = y^{2} + \ln (| x |)$ .

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Étape 9.1.3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + \ln (| x |)]$

Étape 9.1.3.2

Différenciez.

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Étape 9.1.3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + \ln (| x |)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Étape 9.1.3.2.2

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$

Étape 9.1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (| x |)]$ .

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Étape 9.1.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = | x |$ .

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Étape 9.1.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [| x |]$

Étape 9.1.3.3.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [| x |]$

Étape 9.1.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $| x |$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \frac{d}{d x} [| x |]$

Étape 9.1.3.3.2

La dérivée de $| x |$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{| x |}$

Étape 9.1.3.3.3

Multipliez $\frac{1}{| x |}$ par $\frac{x}{| x |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x | | x |}$

Étape 9.1.3.3.4

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x \cdot x |}$

Étape 9.1.3.3.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x |}$

Étape 9.1.3.3.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1} x^{1} |}$

Étape 9.1.3.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{1 + 1} |}$

Étape 9.1.3.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{x}{| x^{2} |}$

Étape 9.1.3.4

Simplifiez

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Étape 9.1.3.4.1

Additionnez $0$ et $\frac{x}{| x^{2} |}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{| x^{2} |}$

Étape 9.1.3.4.2

Retirez les termes non négatifs de la valeur absolue.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x}{x^{2}}$

Étape 9.1.3.4.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 9.1.3.4.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x^{1}}{x^{2}}$

Étape 9.1.3.4.3.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 9.1.3.4.3.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.3.4.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Étape 9.1.3.4.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}$

Étape 9.1.3.4.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Étape 9.1.4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 9.1.4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $\frac{1}{x}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Étape 9.1.4.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ est une identité.

Étape 9.1.5

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{y}{x} d x$

Étape 9.1.6

Intégrez $M (x, y) = \frac{y}{x}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 9.1.6.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , placez $y$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = y \int \frac{1}{x} d x$

Étape 9.1.6.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$f (x, y) = y (\ln (| x |) + C)$

Étape 9.1.6.3

Simplifiez

$f (x, y) = y \ln (| x |) + C$

Étape 9.1.7

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$

Étape 9.1.8

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Étape 9.1.9

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.1.9.1

Simplifiez $\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y))$ .

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Étape 9.1.9.1.1

Annulez le facteur commun de $d$ .

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Étape 9.1.9.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

Étape 9.1.9.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \cdot (y \ln (| x |) + g (y)) = y^{2} + \ln (| x |)$

Étape 9.1.9.1.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $y \ln (| x |) + g y$ .

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Étape 9.1.9.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y \ln (| x |) + g y$ .

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Étape 9.1.9.1.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y \ln (| x |)$ .

$\frac{y \ln (| x |) + g y}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Étape 9.1.9.1.3.2

Factorisez $y$ à partir de $g y$ .

$\frac{y \ln (| x |) + y g}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Étape 9.1.9.1.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y \ln (| x |) + y g$ .

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Étape 9.1.9.1.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 9.1.9.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (\ln (| x |) + g)}{y} = y^{2} + \ln (| x |)$

Étape 9.1.9.1.4.2

Divisez $\ln (| x |) + g$ par $1$ .

$\ln (| x |) + g = y^{2} + \ln (| x |)$

Étape 9.1.10

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| x |) - \ln (| x |) = - g + y^{2}$

Étape 9.1.11

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

Étape 9.1.12

Annulez le facteur commun de $| x |$ .

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Étape 9.1.12.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (\frac{| x |}{| x |}) = - g + y^{2}$

Étape 9.1.12.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (1) = - g + y^{2}$

Étape 9.1.13

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$0 = - g + y^{2}$

Étape 10

Déterminez la primitive de $- g + y^{2}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $0 = - g + y^{2}$ .

$\int 0 d y = \int - g + y^{2} d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int 0 d y$ .

$g (y) = \int - g + y^{2} d y$

Étape 10.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (y) = \int - g d y + \int y^{2} d y$

Étape 10.4

Appliquez la règle de la constante.

$g (y) = - g y + C + \int y^{2} d y$

Étape 10.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - g y + C + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 10.6

Simplifiez

$g (y) = - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = y \ln (| x |) + g (y)$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Étape 12

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$f (x, y) = y \ln (| x |) - g y + \frac{y^{3}}{3} + C$