Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d r}{d θ} = \sin^{4} (π θ)$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d r = \sin^{4} (π θ) d θ$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d r = \int \sin^{4} (π θ) d θ$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$r + C_{1} = \int \sin^{4} (π θ) d θ$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u_{1} = π θ$ . Alors $d u_{1} = π d θ$ , donc $\frac{1}{π} d u_{1} = d θ$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{1} = π θ$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d θ}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $π θ$ .

$\frac{d}{d θ} [π θ]$

Étape 2.3.1.1.2

Comme $π$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $π θ$ par rapport à $θ$ est $π \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$π \frac{d}{d θ} [θ]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ est $n θ^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Étape 2.3.1.1.4

Multipliez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$r + C_{1} = \int \sin^{4} (u_{1}) \frac{1}{π} d u_{1}$

Étape 2.3.2

Associez $\sin^{4} (u_{1})$ et $\frac{1}{π}$ .

$r + C_{1} = \int \frac{\sin^{4} (u_{1})}{π} d u_{1}$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{π}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{π}$ en dehors de l’intégrale.

$r + C_{1} = \frac{1}{π} \int \sin^{4} (u_{1}) d u_{1}$

Étape 2.3.4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{π} \int {\sin (u_{1})}^{2 (2)} d u_{1}$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez ${\sin (u_{1})}^{2 (2)}$ comme une élévation à une puissance.

$r + C_{1} = \frac{1}{π} \int {(\sin^{2} (u_{1}))}^{2} d u_{1}$

Étape 2.3.5

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\sin^{2} (u_{1})$ en $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{π} \int {(\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2})}^{2} d u_{1}$

Étape 2.3.6

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Alors $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.6.1

Laissez $u_{2} = 2 u_{1}$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Étape 2.3.6.1.1

Différenciez $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Étape 2.3.6.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{1}$ , la dérivée de $2 u_{1}$ par rapport à $u_{1}$ est $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Étape 2.3.6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.3.6.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.3.6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{π} \int {(\frac{1 - \cos (u_{2})}{2})}^{2} \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.7

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$r + C_{1} = \frac{1}{π} (\frac{1}{2} \int {(\frac{1 - \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2})$

Étape 2.3.8

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.8.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{π}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int {(\frac{1 - \cos (u_{2})}{2})}^{2} d u_{2}$

Étape 2.3.8.2

Réécrivez $\frac{1 - \cos (u_{2})}{2}$ comme un produit.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int {(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{2})))}^{2} d u_{2}$

Étape 2.3.8.3

Développez ${(\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{2})))}^{2}$ .

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Étape 2.3.8.3.1

Réécrivez l’élévation à une puissance comme un produit.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) (\frac{1}{2} \cdot (1 - \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.6

Appliquez la propriété distributive.

Étape 2.3.8.3.7

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.8

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot \frac{1}{2} (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.9

Déplacez $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1 (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.10

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.11

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2})) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.12

Déplacez les parenthèses.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.13

Déplacez $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.14

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.15

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) (1 \cdot \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.16

Déplacez $\cos (u_{2})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot 1 \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.17

Déplacez $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2})) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.18

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) (\frac{1}{2} \cdot (- \cos (u_{2}))) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.19

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) (- 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2})) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.20

Déplacez les parenthèses.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) (- 1 \cdot \frac{1}{2}) \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.21

Déplacez $\cos (u_{2})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot - 1 \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.22

Déplacez $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.23

Multipliez $1$ par $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int 1 (\frac{1}{2}) \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.24

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.25

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{2 \cdot 2} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.26

Multipliez $2$ par $2$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} + 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.27

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.28

Associez $- \frac{1}{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{1}{2 \cdot 2} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.29

Multipliez $2$ par $2$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cos (u_{2}) - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.30

Associez $\frac{1}{4}$ et $\cos (u_{2})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - 1 \cdot 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.31

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.32

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (u_{2})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{2} \cdot \frac{1}{2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.33

Associez $- \frac{\cos (u_{2})}{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{2 \cdot 2} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.34

Multipliez $2$ par $2$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - 1 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.35

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + 1 (\frac{1}{2}) \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.36

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{1}{2} \cos (u_{2}) \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.37

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (u_{2})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2} \cdot \frac{1}{2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.38

Multipliez $\frac{\cos (u_{2})}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{2 \cdot 2} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.39

Multipliez $2$ par $2$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2})}{4} \cos (u_{2}) d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.40

Associez $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ et $\cos (u_{2})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos (u_{2}) \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.41

Élevez $\cos (u_{2})$ à la puissance $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{2}) \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.42

Élevez $\cos (u_{2})$ à la puissance $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{1} (u_{2}) \cos^{1} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.43

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{{\cos (u_{2})}^{1 + 1}}{4} d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.44

Additionnez $1$ et $1$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.45

Soustrayez $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ de $- \frac{\cos (u_{2})}{4}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} - 2 \frac{\cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.46

Associez $- 2$ et $\frac{\cos (u_{2})}{4}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{2})}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.47

Remettez dans l’ordre $\frac{- 2 \cos (u_{2})}{4}$ et $\frac{\cos^{2} (u_{2})}{4}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{1}{4} + \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 2.3.8.3.48

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{4}$ et $\frac{\cos^{2} (u_{2})}{4}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- 2 \cos (u_{2})}{4} d u_{2}$

Étape 2.3.8.4

Simplifiez

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Étape 2.3.8.4.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $4$ .

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Étape 2.3.8.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cos (u_{2})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{2}))}{4} d u_{2}$

Étape 2.3.8.4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.8.4.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{2}))}{2 (2)} d u_{2}$

Étape 2.3.8.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{2 (- \cos (u_{2}))}{2 \cdot 2} d u_{2}$

Étape 2.3.8.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} + \frac{- \cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.8.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} + \frac{1}{4} - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\int \frac{\cos^{2} (u_{2})}{4} d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 2.3.10

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{4} \int \cos^{2} (u_{2}) d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 2.3.11

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (u_{2})$ en $\frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{4} \int \frac{1 + \cos (2 u_{2})}{2} d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 2.3.12

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 2.3.13

Simplifiez

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Étape 2.3.13.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{2 \cdot 4} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 2.3.13.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} \int 1 + \cos (2 u_{2}) d u_{2} + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 2.3.14

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (\int d u_{2} + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 2.3.15

Appliquez la règle de la constante.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \int \cos (2 u_{2}) d u_{2}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 2.3.16

Laissez $u_{3} = 2 u_{2}$ . Alors $d u_{3} = 2 d u_{2}$ , donc $\frac{1}{2} d u_{3} = d u_{2}$ . Réécrivez avec $u_{3}$ et $d$ $u_{3}$ .

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Étape 2.3.16.1

Laissez $u_{3} = 2 u_{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{3}}{d u_{2}}$ .

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Étape 2.3.16.1.1

Différenciez $2 u_{2}$ .

$\frac{d}{d u_{2}} [2 u_{2}]$

Étape 2.3.16.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $u_{2}$ , la dérivée de $2 u_{2}$ par rapport à $u_{2}$ est $2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{2}} [u_{2}]$

Étape 2.3.16.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.3.16.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.3.16.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{3}$ et $d u_{3}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \int \cos (u_{3}) \frac{1}{2} d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 2.3.17

Associez $\cos (u_{3})$ et $\frac{1}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \int \frac{\cos (u_{3})}{2} d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 2.3.18

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{3}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 2.3.19

L’intégrale de $\cos (u_{3})$ par rapport à $u_{3}$ est $\sin (u_{3})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C_{3})) + \int \frac{1}{4} d u_{2} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 2.3.20

Appliquez la règle de la constante.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C_{3})) + \frac{1}{4} u_{2} + C_{4} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 2.3.21

Associez $\frac{1}{4}$ et $u_{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C_{3})) + \frac{u_{2}}{4} + C_{4} + \int - \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 2.3.22

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C_{3})) + \frac{u_{2}}{4} + C_{4} - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Étape 2.3.23

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C_{3})) + \frac{u_{2}}{4} + C_{4} - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Étape 2.3.24

L’intégrale de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sin (u_{2})$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{8} (u_{2} + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u_{3}) + C_{3})) + \frac{u_{2}}{4} + C_{4} - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C_{5}))$

Étape 2.3.25

Simplifiez

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Étape 2.3.25.1

Simplifiez

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{u_{2}}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} + \frac{u_{2}}{4} - \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.25.2

Simplifiez

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Étape 2.3.25.2.1

Pour écrire $\frac{u_{2}}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{u_{2}}{8} + \frac{u_{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sin (u_{3})}{16} - \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.25.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.25.2.2.1

Multipliez $\frac{u_{2}}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{u_{2}}{8} + \frac{u_{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{\sin (u_{3})}{16} - \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.25.2.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{u_{2}}{8} + \frac{u_{2} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} - \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.25.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{u_{2} + u_{2} \cdot 2}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} - \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.25.2.4

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{u_{2} + 2 \cdot u_{2}}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} - \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.25.2.5

Additionnez $u_{2}$ et $2 u_{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{3 u_{2}}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} - \frac{\sin (u_{2})}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.26

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 2.3.26.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 u_{1}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{3 (2 u_{1})}{8} + \frac{\sin (u_{3})}{16} - \frac{\sin (2 u_{1})}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.26.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{3}$ par $2 u_{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{3 (2 u_{1})}{8} + \frac{\sin (2 u_{2})}{16} - \frac{\sin (2 u_{1})}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.26.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $π θ$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{3 (2 (π θ))}{8} + \frac{\sin (2 u_{2})}{16} - \frac{\sin (2 (π θ))}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.26.4

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 u_{1}$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{3 (2 (π θ))}{8} + \frac{\sin (2 (2 u_{1}))}{16} - \frac{\sin (2 (π θ))}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.26.5

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $π θ$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{3 (2 (π θ))}{8} + \frac{\sin (2 (2 (π θ)))}{16} - \frac{\sin (2 (π θ))}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.27

Simplifiez

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Étape 2.3.27.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.27.1.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $8$ .

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Étape 2.3.27.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $3 (2 (π θ))$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{2 (3 (π θ))}{8} + \frac{\sin (2 (2 (π θ)))}{16} - \frac{\sin (2 (π θ))}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.27.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.27.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{2 (3 (π θ))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 (π θ)))}{16} - \frac{\sin (2 (π θ))}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.27.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{2 (3 (π θ))}{2 \cdot 4} + \frac{\sin (2 (2 (π θ)))}{16} - \frac{\sin (2 (π θ))}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.27.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{3 (π θ)}{4} + \frac{\sin (2 (2 (π θ)))}{16} - \frac{\sin (2 (π θ))}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.27.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} (\frac{3 π θ}{4} + \frac{\sin (4 π θ)}{16} - \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.27.2

Appliquez la propriété distributive.

$r + C_{1} = \frac{1}{2 π} \cdot \frac{3 π θ}{4} + \frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sin (4 π θ)}{16} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.27.3

Simplifiez

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Étape 2.3.27.3.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 2.3.27.3.1.1

Factorisez $π$ à partir de $2 π$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{3 π θ}{4} + \frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sin (4 π θ)}{16} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.27.3.1.2

Factorisez $π$ à partir de $3 π θ$ .

$r + C_{1} = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π (3 θ)}{4} + \frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sin (4 π θ)}{16} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.27.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$r + C_{1} = \frac{1}{π \cdot 2} \cdot \frac{π (3 θ)}{4} + \frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sin (4 π θ)}{16} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.27.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$r + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3 θ}{4} + \frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sin (4 π θ)}{16} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.27.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3 θ}{4}$ .

$r + C_{1} = \frac{3 θ}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sin (4 π θ)}{16} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.27.3.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$r + C_{1} = \frac{3 θ}{8} + \frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sin (4 π θ)}{16} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.27.3.4

Multipliez $\frac{1}{2 π} \cdot \frac{\sin (4 π θ)}{16}$ .

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Étape 2.3.27.3.4.1

Multipliez $\frac{1}{2 π}$ par $\frac{\sin (4 π θ)}{16}$ .

$r + C_{1} = \frac{3 θ}{8} + \frac{\sin (4 π θ)}{2 π \cdot 16} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.27.3.4.2

Multipliez $16$ par $2$ .

$r + C_{1} = \frac{3 θ}{8} + \frac{\sin (4 π θ)}{32 π} + \frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2}) + C_{6}$

Étape 2.3.27.3.5

Multipliez $\frac{1}{2 π} (- \frac{\sin (2 π θ)}{2})$ .

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Étape 2.3.27.3.5.1

Multipliez $\frac{1}{2 π}$ par $\frac{\sin (2 π θ)}{2}$ .

$r + C_{1} = \frac{3 θ}{8} + \frac{\sin (4 π θ)}{32 π} - \frac{\sin (2 π θ)}{2 π \cdot 2} + C_{6}$

Étape 2.3.27.3.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$r + C_{1} = \frac{3 θ}{8} + \frac{\sin (4 π θ)}{32 π} - \frac{\sin (2 π θ)}{4 π} + C_{6}$

Étape 2.3.28

Remettez les termes dans l’ordre.

$r + C_{1} = \frac{3}{8} θ + \frac{1}{32 π} \sin (4 π θ) - \frac{1}{4 π} \sin (2 π θ) + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$r = \frac{3}{8} θ + \frac{1}{32 π} \sin (4 π θ) - \frac{1}{4 π} \sin (2 π θ) + K$