Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x^{2} + 3 y^{2}) d y + (3 x^{2} + 4 x y) d x = 0$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Réécrivez.

$(3 x^{2} + 4 x y) d x + (2 x^{2} + 3 y^{2}) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 3 x^{2} + 4 x y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + 4 x y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 4 x y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x y]$

Étape 2.2.2

Comme $3 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [4 x y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [4 x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $4 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 x y$ par rapport à $y$ est $4 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 x \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 x \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 x$

Étape 2.4

Additionnez $0$ et $4 x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 2 x^{2} + 3 y^{2}$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 y^{2}]$

Étape 3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + 3 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + \frac{d}{d x} [3 y^{2}]$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.4.1

Comme $3 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + 0$

Étape 3.4.2

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $4 x$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $4 x$ .

$4 x = 4 x$

Étape 4.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$4 x = 4 x$ est une identité.

Étape 5

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} + 4 x y d x$

Étape 6

Intégrez $M (x, y) = 3 x^{2} + 4 x y$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 6.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} d x + \int 4 x y d x$

Étape 6.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 3 \int x^{2} d x + \int 4 x y d x$

Étape 6.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 4 x y d x$

Étape 6.4

Comme $4 y$ est constant par rapport à $x$ , placez $4 y$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 y \int x d x$

Étape 6.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 4 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 6.6

Simplifiez

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + 4 y \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 6.7

Simplifiez

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Étape 6.7.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 4 y \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 6.7.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.7.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{3}{3} x^{3} + 4 y \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 6.7.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = 1 x^{3} + 4 y \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 6.7.3

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$f (x, y) = x^{3} + 4 y \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 6.7.4

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + y \frac{4}{2} x^{2} + C$

Étape 6.7.5

Associez $y$ et $\frac{4}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{y \cdot 4}{2} x^{2} + C$

Étape 6.7.6

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{4 \cdot y}{2} x^{2} + C$

Étape 6.7.7

Multipliez $4$ par $y$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{4 y}{2} x^{2} + C$

Étape 6.7.8

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 6.7.8.1

Factorisez $2$ à partir de $4 y$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (2 y)}{2} x^{2} + C$

Étape 6.7.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.7.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (2 y)}{2 (1)} x^{2} + C$

Étape 6.7.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 (2 y)}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Étape 6.7.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = x^{3} + \frac{2 y}{1} x^{2} + C$

Étape 6.7.8.2.4

Divisez $2 y$ par $1$ .

$f (x, y) = x^{3} + 2 y x^{2} + C$

Étape 7

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} + 2 y x^{2} + g (y)$

Étape 8

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Étape 9

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 9.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3} + 2 y x^{2} + g (y)] = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Étape 9.2

Différenciez.

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Étape 9.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + 2 y x^{2} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Étape 9.2.2

Comme $x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x^{3}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Étape 9.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y x^{2}]$ .

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Étape 9.3.1

Comme $2 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y x^{2}$ par rapport à $y$ est $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Étape 9.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Étape 9.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$0 + 2 x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Étape 9.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 2 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Étape 9.5

Simplifiez

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Étape 9.5.1

Additionnez $0$ et $2 x^{2}$ .

$2 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Étape 9.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{2} = 2 x^{2} + 3 y^{2}$

Étape 10

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 10.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.1.1

Soustrayez $2 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 2 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x^{2}$

Étape 10.1.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x^{2}$ .

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Étape 10.1.2.1

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 0$

Étape 10.1.2.2

Additionnez $3 y^{2}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2}$

Étape 11

Déterminez la primitive de $3 y^{2}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 11.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = 3 y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 y^{2} d y$

Étape 11.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 y^{2} d y$

Étape 11.3

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = 3 \int y^{2} d y$

Étape 11.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Étape 11.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.5.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ comme $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Étape 11.5.2

Simplifiez

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Étape 11.5.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + C$

Étape 11.5.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 11.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + C$

Étape 11.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$g (y) = 1 y^{3} + C$

Étape 11.5.2.3

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$g (y) = y^{3} + C$

Étape 12

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = x^{3} + 2 y x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{3} + 2 y x^{2} + y^{3} + C$