Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{2} - 3 \frac{d y}{d x} = 5$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Soustrayez $2 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 \frac{d y}{d x} = 5 - 2 x^{2}$

Étape 1.1.2

Divisez chaque terme dans $- 3 \frac{d y}{d x} = 5 - 2 x^{2}$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 1.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 \frac{d y}{d x} = 5 - 2 x^{2}$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 \frac{d y}{d x}}{- 3} = \frac{5}{- 3} + \frac{- 2 x^{2}}{- 3}$

Étape 1.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 1.1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 \frac{d y}{d x}}{- 3} = \frac{5}{- 3} + \frac{- 2 x^{2}}{- 3}$

Étape 1.1.2.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{- 3} + \frac{- 2 x^{2}}{- 3}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5}{3} + \frac{- 2 x^{2}}{- 3}$

Étape 1.1.2.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5}{3} + \frac{2 x^{2}}{3}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$d y = (- \frac{5}{3} + \frac{2 x^{2}}{3}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int - \frac{5}{3} + \frac{2 x^{2}}{3} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int - \frac{5}{3} + \frac{2 x^{2}}{3} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int - \frac{5}{3} d x + \int \frac{2 x^{2}}{3} d x$

Étape 2.3.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = - \frac{5}{3} x + C_{2} + \int \frac{2 x^{2}}{3} d x$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - \frac{5}{3} x + C_{2} + \frac{2}{3} \int x^{2} d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = - \frac{5}{3} x + C_{2} + \frac{2}{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

$y + C_{1} = - \frac{5}{3} x + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

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Étape 2.3.5.2.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = - \frac{5}{3} x + \frac{2}{3 \cdot 3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$y + C_{1} = - \frac{5}{3} x + \frac{2}{9} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - \frac{5}{3} x + \frac{2}{9} x^{3} + K$