Calcul infinitésimal Exemples

$2 x y + (1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} = 0$ , $y (0) = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x y + 1 \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1.1.1.2

Multipliez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$2 x y + \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = 0$

Étape 1.1.2

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

Étape 1.1.3

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $\frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.3.1

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + x^{2} \frac{d y}{d x} = - 2 x y$

Étape 1.1.3.2

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2} = - 2 x y$

Étape 1.1.3.3

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $\frac{d y}{d x} \cdot 1 + \frac{d y}{d x} x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = - 2 x y$

Étape 1.1.4

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = - 2 x y$ par $1 + x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.4.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (1 + x^{2}) = - 2 x y$ par $1 + x^{2}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{- 2 x y}{1 + x^{2}}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + x^{2}$ .

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Étape 1.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{- 2 x y}{1 + x^{2}}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y}{1 + x^{2}}$

Étape 1.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x y}{1 + x^{2}}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} y$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (\frac{2 x}{1 + x^{2}} y)$

Étape 1.4.2.2

Factorisez $y$ à partir de $\frac{2 x}{1 + x^{2}} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

Étape 1.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} (y \frac{2 x}{1 + x^{2}})$

Étape 1.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{1 + x^{2}}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{x}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.3.4

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.4.1

Laissez $u = 1 + x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.4.1.1

Différenciez $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Étape 2.3.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.4.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Étape 2.3.4.1.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$2 x$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 2.3.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 2.3.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.7.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.7.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.7.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.7.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.7.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Étape 2.3.9

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 2.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| 1 + x^{2} |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) + \ln (| 1 + x^{2} |) = C$

Étape 3.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | 1 + x^{2} |) = C$

Étape 3.3

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| y (1 + x^{2}) |) = C$

Étape 3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y \cdot 1 + y x^{2} |) = C$

Étape 3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$\ln (| y + y x^{2} |) = C$

Étape 3.6

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y + y x^{2} |)} = e^{C}$

Étape 3.7

Réécrivez $\ln (| y + y x^{2} |) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y + y x^{2} |$

Étape 3.8

Résolvez $y$ .

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Étape 3.8.1

Réécrivez l’équation comme $| y + y x^{2} | = e^{C}$ .

$| y + y x^{2} | = e^{C}$

Étape 3.8.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y + y x^{2} = \pm e^{C}$

Étape 3.8.3

Factorisez $y$ à partir de $y + y x^{2}$ .

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Étape 3.8.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 + y x^{2} = \pm e^{C}$

Étape 3.8.3.2

Factorisez $y$ à partir de $y x^{2}$ .

$y \cdot 1 + y (x^{2}) = \pm e^{C}$

Étape 3.8.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1 + y (x^{2})$ .

$y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$

Étape 3.8.4

Divisez chaque terme dans $y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$ par $1 + x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 3.8.4.1

Divisez chaque terme dans $y (1 + x^{2}) = \pm e^{C}$ par $1 + x^{2}$ .

$\frac{y (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

Étape 3.8.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.8.4.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + x^{2}$ .

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Étape 3.8.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

Étape 3.8.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 + x^{2}}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{C}{1 + x^{2}}$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $1$ dans $y = \frac{C}{1 + x^{2}}$ .

$1 = \frac{C}{1 + 0^{2}}$

Étape 6

Résolvez $C$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{C}{1 + 0^{2}} = 1$ .

$\frac{C}{1 + 0^{2}} = 1$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $1 + 0^{2}$ .

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1 + 0^{2}} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Étape 6.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Simplifiez $(1 + 0^{2}) \frac{C}{1 + 0^{2}}$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.3.1.1.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1 + 0} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Étape 6.3.1.1.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$(1 + 0^{2}) \frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Étape 6.3.1.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.1.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$(1 + 0) \frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Étape 6.3.1.1.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 \frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Étape 6.3.1.1.2.3

Multipliez $\frac{C}{1}$ par $1$ .

$\frac{C}{1} = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Étape 6.3.1.1.2.4

Divisez $C$ par $1$ .

$C = (1 + 0^{2}) \cdot 1$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez $(1 + 0^{2}) \cdot 1$ .

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Étape 6.3.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$C = (1 + 0) \cdot 1$

Étape 6.3.2.1.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$C = 1 \cdot 1$

Étape 6.3.2.1.3

Multipliez $1$ par $1$ .

$C = 1$

Étape 7

Remplacez $C$ par $1$ dans $y = \frac{C}{1 + x^{2}}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $C$ par $1$ .

$y = \frac{1}{1 + x^{2}}$