Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Séparez $\frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez la fraction $\frac{y^{2} + x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$ en deux fractions.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{x y} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Étape 1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{x y} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Étape 1.1.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Étape 1.1.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Étape 1.1.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x y}$

Étape 1.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{y}$

Étape 1.2

Supposez que $\sqrt{y^{2}} = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{y^{2}}}$

Étape 1.3

Associez $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ et $\sqrt{y^{2}}$ en un radical unique.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}}$

Étape 1.4

Séparez $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}$ et simplifiez.

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Étape 1.4.1

Divisez la fraction $\frac{x^{2} + y^{2}}{y^{2}}$ en deux fractions.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{y^{2}}}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{y^{2}}}$

Étape 1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^{2}}{y^{2}} + 1}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation différentielle comme $f (\frac{y}{x})$ .

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Étape 1.5.1

Réécrivez $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ comme ${(\frac{x}{y})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{(\frac{x}{y})}^{2} + 1}$

Étape 1.5.2

Réécrivez $\frac{x}{y}$ comme ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sqrt{{({(\frac{y}{x})}^{- 1})}^{2} + 1}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Simplifiez $V + \sqrt{{(V^{- 1})}^{2} + 1}$ .

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Étape 6.1.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(V^{- 1})}^{2}$ .

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Étape 6.1.1.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{- 1 \cdot 2} + 1}$

Étape 6.1.1.1.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{V^{- 2} + 1}$

Étape 6.1.1.1.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1}{V^{2}} + 1}$

Étape 6.1.1.1.1.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1}{V^{2}} + \frac{V^{2}}{V^{2}}}$

Étape 6.1.1.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1 + V^{2}}{V^{2}}}$

Étape 6.1.1.1.1.5

Réécrivez $\frac{1 + V^{2}}{V^{2}}$ comme ${(\frac{1}{V})}^{2} (1 + V^{2})$ .

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Étape 6.1.1.1.1.5.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $1 + V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2}}}$

Étape 6.1.1.1.1.5.2

Factorisez la puissance parfaite $V^{2}$ dans $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2} \cdot 1}}$

Étape 6.1.1.1.1.5.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (1 + V^{2})}{V^{2} \cdot 1}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sqrt{{(\frac{1}{V})}^{2} (1 + V^{2})}$

Étape 6.1.1.1.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{1}{V} \sqrt{1 + V^{2}}$

Étape 6.1.1.1.1.7

Associez $\frac{1}{V}$ et $\sqrt{1 + V^{2}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Étape 6.1.1.1.2

Pour écrire $V$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{V}{V}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Étape 6.1.1.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V \cdot V + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Étape 6.1.1.1.4

Multipliez $V$ par $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Étape 6.1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1.2.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Étape 6.1.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.2.2.1

Divisez la fraction $\frac{V^{2} + \sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ en deux fractions.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Étape 6.1.1.2.2.2

Annulez le facteur commun à $V^{2}$ et $V$ .

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Étape 6.1.1.2.2.2.1

Factorisez $V$ à partir de $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Étape 6.1.1.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.1.2.2.2.2.1

Élevez $V$ à la puissance $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V^{1}} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Étape 6.1.1.2.2.2.2.2

Factorisez $V$ à partir de $V^{1}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V \cdot 1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Étape 6.1.1.2.2.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot V}{V \cdot 1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Étape 6.1.1.2.2.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{1} + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Étape 6.1.1.2.2.2.2.5

Divisez $V$ par $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$

Étape 6.1.1.2.3

Associez les termes opposés dans $V + \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} - V$ .

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Étape 6.1.1.2.3.1

Soustrayez $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} + 0$

Étape 6.1.1.2.3.2

Additionnez $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ et $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$

Étape 6.1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2

Associez.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Étape 6.1.1.3.3.3

Multipliez $\sqrt{1 + V^{2}}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V x}$

Étape 6.1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4

Simplifiez

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Étape 6.1.4.1

Multipliez $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.4.2.1

Multipliez $\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{\sqrt{1 + V^{2}} \sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4.2.2

Élevez $\sqrt{1 + V^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} \sqrt{1 + V^{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4.2.3

Élevez $\sqrt{1 + V^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + V^{2}}}^{1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1 + 1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4.2.6

Réécrivez ${\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}$ comme $1 + V^{2}$ .

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Étape 6.1.4.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + V^{2}}$ comme ${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.4.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{{(1 + V^{2})}^{1}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4.2.6.5

Simplifiez

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} (\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{V} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4.3

Associez.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Étape 6.1.4.4

Annulez le facteur commun de $V$ .

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Étape 6.1.4.4.1

Factorisez $V$ à partir de $V \sqrt{1 + V^{2}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V (\sqrt{1 + V^{2}})}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Étape 6.1.4.4.2

Factorisez $V$ à partir de $V x$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V (\sqrt{1 + V^{2}})}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V (x)}$

Étape 6.1.4.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{V \sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{V x}$

Étape 6.1.4.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \cdot 1}{x}$

Étape 6.1.4.5

Multipliez $\sqrt{1 + V^{2}}$ par $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}} \cdot \frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$

Étape 6.1.4.6

Multipliez $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{1 + V^{2}}$ par $\frac{\sqrt{1 + V^{2}}}{x}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{1 + V^{2}} \sqrt{1 + V^{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Étape 6.1.4.7

Élevez $\sqrt{1 + V^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} \sqrt{1 + V^{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Étape 6.1.4.8

Élevez $\sqrt{1 + V^{2}}$ à la puissance $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1} {\sqrt{1 + V^{2}}}^{1}}{(1 + V^{2}) x}$

Étape 6.1.4.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{1 + 1}}{(1 + V^{2}) x}$

Étape 6.1.4.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Étape 6.1.4.11

Réécrivez ${\sqrt{1 + V^{2}}}^{2}$ comme $1 + V^{2}$ .

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Étape 6.1.4.11.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + V^{2}}$ comme ${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Étape 6.1.4.11.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(1 + V^{2}) x}$

Étape 6.1.4.11.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Étape 6.1.4.11.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.4.11.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{\frac{2}{2}}}{(1 + V^{2}) x}$

Étape 6.1.4.11.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{{(1 + V^{2})}^{1}}{(1 + V^{2}) x}$

Étape 6.1.4.11.5

Simplifiez

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Étape 6.1.4.12

Annulez le facteur commun de $1 + V^{2}$ .

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Étape 6.1.4.12.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{(1 + V^{2}) x}$

Étape 6.1.4.12.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 6.1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{V}{\sqrt{1 + V^{2}}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Laissez $u = 1 + V^{2}$ . Alors $d u = 2 V d V$ , donc $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1

Laissez $u = 1 + V^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d V}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1.1

Différenciez $1 + V^{2}$ .

$\frac{d}{d V} [1 + V^{2}]$

Étape 6.2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + V^{2}$ par rapport à $V$ est $\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$ .

$\frac{d}{d V} [1] + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Étape 6.2.2.1.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $V$ , la dérivée de $1$ par rapport à $V$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [V^{2}]$

Étape 6.2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ est $n V^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 + 2 V$

Étape 6.2.2.1.1.5

Additionnez $0$ et $2 V$ .

$2 V$

Étape 6.2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 6.2.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.2.4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6

Simplifiez

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Étape 6.2.2.6.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ comme $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.6.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6.2.3

Multipliez $u^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + V^{2}$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez ${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Étape 6.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(1 + V^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Étape 6.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(1 + V^{2})}^{1} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Étape 6.3.2.1.2

Simplifiez

$1 + V^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2}$

Étape 6.3.3

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$V^{2} = {(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1$

Étape 6.3.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$V = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1}$

Étape 6.3.3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1}$ .

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Étape 6.3.3.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$V = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2} - 1^{2}}$

Étape 6.3.3.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \ln (| x |) + C$ et $b = 1$ .

$V = \pm \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Étape 6.3.3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 6.3.3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Étape 6.3.3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Étape 6.3.3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C + 1) (\ln (| x |) + C - 1)}$

Étape 6.4

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

$V = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

$V = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}, - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Réécrivez.

$\frac{y}{x} = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

Étape 8.2

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Étape 8.3

Simplifiez

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Étape 8.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Étape 8.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Étape 8.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.2.1

Simplifiez $\sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$ .

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Étape 8.3.2.1.1

Élevez $\ln (| x |) + C$ à la puissance $1$ .

$y = \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1} (\ln (| x |) + C)} x$

Étape 8.3.2.1.2

Élevez $\ln (| x |) + C$ à la puissance $1$ .

$y = \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1} {(\ln (| x |) + C)}^{1}} x$

Étape 8.3.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1 + 1}} x$

Étape 8.3.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2}} x$

Étape 8.3.2.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = (\ln (| x |) + C) x$

Étape 8.3.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$y = \ln (| x |) x + C x$

Étape 8.3.2.1.7

Simplifiez en utilisant la commutativité.

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Étape 8.3.2.1.7.1

Remettez dans l’ordre $\ln (| x |)$ et $x$ .

$y = x \ln (| x |) + C x$

Étape 8.3.2.1.7.2

Remettez dans l’ordre $x \ln (| x |)$ et $C x$ .

$y = C x + x \ln (| x |)$

Étape 9

Résolvez $\frac{y}{x} = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$ pour $y$ .

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Étape 9.1

Réécrivez.

$\frac{y}{x} = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

Étape 9.2

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 9.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Étape 9.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$

Étape 9.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.2.1

Simplifiez $- \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)} x$ .

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Étape 9.3.2.1.1

Élevez $\ln (| x |) + C$ à la puissance $1$ .

$y = - \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1} (\ln (| x |) + C)} x$

Étape 9.3.2.1.2

Élevez $\ln (| x |) + C$ à la puissance $1$ .

$y = - \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1} {(\ln (| x |) + C)}^{1}} x$

Étape 9.3.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = - \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{1 + 1}} x$

Étape 9.3.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = - \sqrt{{(\ln (| x |) + C)}^{2}} x$

Étape 9.3.2.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = - (\ln (| x |) + C) x$

Étape 9.3.2.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$y = (- \ln (| x |) - C) x$

Étape 9.3.2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \ln (| x |) x - C x$

Étape 9.3.2.1.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.3.2.1.8.1

Déplacez $\ln (| x |)$ .

$y = - 1 x \ln (| x |) - C x$

Étape 9.3.2.1.8.2

Remettez dans l’ordre $- 1 x \ln (| x |)$ et $- C x$ .

$y = - C x - 1 x \ln (| x |)$

Étape 9.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y = - C x - x \ln (| x |)$

Étape 10

Indiquez les solutions.

$y = C x + x \ln (| x |), y = - C x - x \ln (| x |)$