Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - 5 y = - \frac{5}{2} x y^{3}$

Étape 1

Pour résoudre l’équation différentielle, laissez $v = y^{1 - n}$ où $n$ est l’exposant de $y^{3}$ .

$v = y^{- 2}$

Étape 2

Résolvez l’équation pour $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Étape 3

Prenez la dérivée de $y$ par rapport à $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4

Prenez la dérivée de $v^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ .

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Étape 4.1

Prenez la dérivée de $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.4.2

Multipliez les exposants dans ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 4.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Étape 4.5

Simplifiez

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.6.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Étape 4.6.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.6.2.1

Multipliez $v^{\frac{1}{2}}$ par $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Étape 4.6.2.2

Soustrayez $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Étape 4.6.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Étape 4.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = v$ .

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Étape 4.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.13

Associez $\frac{1}{2}$ et $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.14

Placez $v^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Étape 4.15

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Étape 4.16

Associez $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ et $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Étape 4.17

Réécrivez $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ comme un produit.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Étape 4.18

Multipliez $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Étape 4.19

Élevez $v$ à la puissance $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Étape 4.20

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Étape 4.21

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Étape 4.22

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Étape 4.23

Additionnez $2$ et $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ et $y$ par $v^{- \frac{1}{2}}$ dans l’équation d’origine $\frac{d y}{d x} - 5 y = - \frac{5}{2} x y^{3}$ .

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} - 5 v^{- \frac{1}{2}} = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Multiplier chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - 5 v^{- \frac{1}{2}} = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ par $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.1.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - 5 v^{- \frac{1}{2}} = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ par $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 6.1.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ dans le numérateur.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.1.2

Factorisez $2 v^{\frac{3}{2}}$ à partir de $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.3

Multipliez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.4

Multipliez $v^{- \frac{1}{2}}$ par $v^{\frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.2.1.4.1

Déplacez $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) (- 1 \cdot (2)) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} - 5 v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d v}{d x} - 5 v^{\frac{3 - 1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.4.4

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 v^{\frac{2}{2}} (- 1 \cdot (2)) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.4.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 v^{1} (- 1 \cdot (2)) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.5

Simplifiez $- 5 v^{1} (- 1 \cdot (2))$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 v (- 1 \cdot (2)) = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 v \cdot - 2 = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.2.1.7

Multipliez $- 2$ par $- 5$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5}{2} x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.3.1

Associez $x$ et $\frac{5}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{x \cdot 5}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.1.3.2.1

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 \cdot x}{2} {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

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Étape 6.1.3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.3.2.2.2

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

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Étape 6.1.3.2.2.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{- 3 (\frac{1}{2})} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.3.2.2.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{\frac{- 3}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.3.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{- \frac{3}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Étape 6.1.3.3

Multipliez $v^{- \frac{3}{2}}$ par $v^{\frac{3}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.3.3.1

Déplacez $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}}) (- 1 \cdot (2))$

Étape 6.1.3.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}} (- 1 \cdot (2))$

Étape 6.1.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{\frac{3 - 3}{2}} (- 1 \cdot (2))$

Étape 6.1.3.3.4

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{\frac{0}{2}} (- 1 \cdot (2))$

Étape 6.1.3.3.5

Divisez $0$ par $2$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} v^{0} (- 1 \cdot (2))$

Étape 6.1.3.4

Simplifiez $- \frac{5 x}{2} v^{0} (- 1 \cdot (2))$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - \frac{5 x}{2} (- 1 \cdot (2))$

Étape 6.1.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.1.3.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5 x}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{d v}{d x} + 10 v = \frac{- 5 x}{2} (- 1 \cdot (2))$

Étape 6.1.3.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 1 \cdot (2)$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = \frac{- 5 x}{2} (2 \cdot - 1)$

Étape 6.1.3.5.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} + 10 v = \frac{- 5 x}{2} (2 \cdot - 1)$

Étape 6.1.3.5.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} + 10 v = - 5 x \cdot - 1$

Étape 6.1.3.6

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$\frac{d v}{d x} + 10 v = 5 x$

Étape 6.2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 10$ .

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Étape 6.2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int 10 d x}$

Étape 6.2.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{10 x + C}$

Étape 6.2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{10 x}$

Étape 6.3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{10 x}$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez chaque terme par $e^{10 x}$ .

$e^{10 x} \frac{d v}{d x} + e^{10 x} (10 v) = e^{10 x} (5 x)$

Étape 6.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{10 x} \frac{d v}{d x} + 10 e^{10 x} v = e^{10 x} (5 x)$

Étape 6.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{10 x} \frac{d v}{d x} + 10 e^{10 x} v = 5 e^{10 x} x$

Étape 6.3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{10 x} \frac{d v}{d x} + 10 e^{10 x} v = 5 e^{10 x} x$ .

$e^{10 x} \frac{d v}{d x} + 10 v e^{10 x} = 5 x e^{10 x}$

Étape 6.4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{10 x} v] = 5 x e^{10 x}$

Étape 6.5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{10 x} v] d x = \int 5 x e^{10 x} d x$

Étape 6.6

Intégrez le côté gauche.

$e^{10 x} v = \int 5 x e^{10 x} d x$

Étape 6.7

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.7.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$e^{10 x} v = 5 \int x e^{10 x} d x$

Étape 6.7.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{10 x}$ .

$e^{10 x} v = 5 (x (\frac{1}{10} e^{10 x}) - \int \frac{1}{10} e^{10 x} d x)$

Étape 6.7.3

Simplifiez

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Étape 6.7.3.1

Associez $\frac{1}{10}$ et $e^{10 x}$ .

$e^{10 x} v = 5 (x \frac{e^{10 x}}{10} - \int \frac{1}{10} e^{10 x} d x)$

Étape 6.7.3.2

Associez $x$ et $\frac{e^{10 x}}{10}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \int \frac{1}{10} e^{10 x} d x)$

Étape 6.7.3.3

Associez $\frac{1}{10}$ et $e^{10 x}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \int \frac{e^{10 x}}{10} d x)$

Étape 6.7.4

Comme $\frac{1}{10}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{10}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - (\frac{1}{10} \int e^{10 x} d x))$

Étape 6.7.5

Laissez $u = 10 x$ . Alors $d u = 10 d x$ , donc $\frac{1}{10} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.7.5.1

Laissez $u = 10 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.7.5.1.1

Différenciez $10 x$ .

$\frac{d}{d x} [10 x]$

Étape 6.7.5.1.2

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 x$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.7.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$10 \cdot 1$

Étape 6.7.5.1.4

Multipliez $10$ par $1$ .

$10$

Étape 6.7.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{10} \int e^{u} \frac{1}{10} d u)$

Étape 6.7.6

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{10}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{10} \int \frac{e^{u}}{10} d u)$

Étape 6.7.7

Comme $\frac{1}{10}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{10}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{10} (\frac{1}{10} \int e^{u} d u))$

Étape 6.7.8

Simplifiez

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Étape 6.7.8.1

Multipliez $\frac{1}{10}$ par $\frac{1}{10}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{10 \cdot 10} \int e^{u} d u)$

Étape 6.7.8.2

Multipliez $10$ par $10$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{100} \int e^{u} d u)$

Étape 6.7.9

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{100} (e^{u} + C))$

Étape 6.7.10

Réécrivez $5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{100} (e^{u} + C))$ comme $5 (\frac{1}{10} x e^{10 x} - \frac{1}{100} e^{u}) + C$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{1}{10} x e^{10 x} - \frac{1}{100} e^{u}) + C$

Étape 6.7.11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $10 x$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{1}{10} x e^{10 x} - \frac{1}{100} e^{10 x}) + C$

Étape 6.7.12

Simplifiez

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Étape 6.7.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.7.12.1.1

Associez $\frac{1}{10}$ et $x$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x}{10} e^{10 x} - \frac{1}{100} e^{10 x}) + C$

Étape 6.7.12.1.2

Associez $\frac{x}{10}$ et $e^{10 x}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{1}{100} e^{10 x}) + C$

Étape 6.7.12.1.3

Associez $e^{10 x}$ et $\frac{1}{100}$ .

$e^{10 x} v = 5 (\frac{x e^{10 x}}{10} - \frac{e^{10 x}}{100}) + C$

Étape 6.7.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{10 x} v = 5 \frac{x e^{10 x}}{10} + 5 (- \frac{e^{10 x}}{100}) + C$

Étape 6.7.12.3

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.7.12.3.1

Factorisez $5$ à partir de $10$ .

$e^{10 x} v = 5 \frac{x e^{10 x}}{5 (2)} + 5 (- \frac{e^{10 x}}{100}) + C$

Étape 6.7.12.3.2

Annulez le facteur commun.

$e^{10 x} v = 5 \frac{x e^{10 x}}{5 \cdot 2} + 5 (- \frac{e^{10 x}}{100}) + C$

Étape 6.7.12.3.3

Réécrivez l’expression.

$e^{10 x} v = \frac{x e^{10 x}}{2} + 5 (- \frac{e^{10 x}}{100}) + C$

Étape 6.7.12.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 6.7.12.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{10 x}}{100}$ dans le numérateur.

$e^{10 x} v = \frac{x e^{10 x}}{2} + 5 \frac{- e^{10 x}}{100} + C$

Étape 6.7.12.4.2

Factorisez $5$ à partir de $100$ .

$e^{10 x} v = \frac{x e^{10 x}}{2} + 5 \frac{- e^{10 x}}{5 (20)} + C$

Étape 6.7.12.4.3

Annulez le facteur commun.

$e^{10 x} v = \frac{x e^{10 x}}{2} + 5 \frac{- e^{10 x}}{5 \cdot 20} + C$

Étape 6.7.12.4.4

Réécrivez l’expression.

$e^{10 x} v = \frac{x e^{10 x}}{2} + \frac{- e^{10 x}}{20} + C$

Étape 6.7.12.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{10 x} v = \frac{x e^{10 x}}{2} - \frac{e^{10 x}}{20} + C$

Étape 6.7.13

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{10 x} v = \frac{1}{2} x e^{10 x} - \frac{1}{20} e^{10 x} + C$

Étape 6.8

Divisez chaque terme dans $e^{10 x} v = \frac{1}{2} x e^{10 x} - \frac{1}{20} e^{10 x} + C$ par $e^{10 x}$ et simplifiez.

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Étape 6.8.1

Divisez chaque terme dans $e^{10 x} v = \frac{1}{2} x e^{10 x} - \frac{1}{20} e^{10 x} + C$ par $e^{10 x}$ .

$\frac{e^{10 x} v}{e^{10 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{- \frac{1}{20} e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Étape 6.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{10 x}$ .

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Étape 6.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{10 x} v}{e^{10 x}} = \frac{\frac{1}{2} x e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{- \frac{1}{20} e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Étape 6.8.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{\frac{1}{2} x e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{- \frac{1}{20} e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Étape 6.8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.8.3.1.1

Annulez le facteur commun de $e^{10 x}$ .

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Étape 6.8.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$v = \frac{\frac{1}{2} x e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{- \frac{1}{20} e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Étape 6.8.3.1.1.2

Divisez $\frac{1}{2} x$ par $1$ .

$v = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{20} e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Étape 6.8.3.1.2

Annulez le facteur commun de $e^{10 x}$ .

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Étape 6.8.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$v = \frac{1}{2} x + \frac{- \frac{1}{20} e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Étape 6.8.3.1.2.2

Divisez $- \frac{1}{20}$ par $1$ .

$v = \frac{1}{2} x - \frac{1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Étape 6.8.3.2

Soustrayez $\frac{1}{20}$ de $\frac{1}{2} x$ .

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Étape 6.8.3.2.1

Remettez dans l’ordre $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$v = x \frac{1}{2} - \frac{1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Étape 6.8.3.2.2

Pour écrire $x \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{20}{20}$ .

$v = x \frac{1}{2} \cdot \frac{20}{20} - \frac{1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Étape 6.8.3.2.3

Associez $x \frac{1}{2}$ et $\frac{20}{20}$ .

$v = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 20}{20} - \frac{1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Étape 6.8.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v = \frac{x \frac{1}{2} \cdot 20 - 1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Étape 6.8.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.8.3.3.1

Associez $x$ et $\frac{1}{2}$ .

$v = \frac{\frac{x}{2} \cdot 20 - 1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Étape 6.8.3.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.8.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $20$ .

$v = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 (10)) - 1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Étape 6.8.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$v = \frac{\frac{x}{2} \cdot (2 \cdot 10) - 1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Étape 6.8.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$v = \frac{x \cdot 10 - 1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Étape 6.8.3.3.3

Déplacez $10$ à gauche de $x$ .

$v = \frac{10 x - 1}{20} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Étape 6.8.3.4

Pour écrire $\frac{10 x - 1}{20}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{10 x}}{e^{10 x}}$ .

$v = \frac{10 x - 1}{20} \cdot \frac{e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}}$

Étape 6.8.3.5

Pour écrire $\frac{C}{e^{10 x}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{20}{20}$ .

$v = \frac{10 x - 1}{20} \cdot \frac{e^{10 x}}{e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}} \cdot \frac{20}{20}$

Étape 6.8.3.6

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $20 e^{10 x}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 6.8.3.6.1

Multipliez $\frac{10 x - 1}{20}$ par $\frac{e^{10 x}}{e^{10 x}}$ .

$v = \frac{(10 x - 1) e^{10 x}}{20 e^{10 x}} + \frac{C}{e^{10 x}} \cdot \frac{20}{20}$

Étape 6.8.3.6.2

Multipliez $\frac{C}{e^{10 x}}$ par $\frac{20}{20}$ .

$v = \frac{(10 x - 1) e^{10 x}}{20 e^{10 x}} + \frac{C \cdot 20}{e^{10 x} \cdot 20}$

Étape 6.8.3.6.3

Réorganisez les facteurs de $e^{10 x} \cdot 20$ .

$v = \frac{(10 x - 1) e^{10 x}}{20 e^{10 x}} + \frac{C \cdot 20}{20 e^{10 x}}$

Étape 6.8.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v = \frac{(10 x - 1) e^{10 x} + C \cdot 20}{20 e^{10 x}}$

Étape 6.8.3.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.8.3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$v = \frac{10 x e^{10 x} - 1 e^{10 x} + C \cdot 20}{20 e^{10 x}}$

Étape 6.8.3.8.2

Réécrivez $- 1 e^{10 x}$ comme $- e^{10 x}$ .

$v = \frac{10 x e^{10 x} - e^{10 x} + C \cdot 20}{20 e^{10 x}}$

Étape 6.8.3.8.3

Déplacez $20$ à gauche de $C$ .

$v = \frac{10 x e^{10 x} - e^{10 x} + 20 C}{20 e^{10 x}}$

Étape 7

Remplacez $v$ par $y^{- 2}$ .

$y^{- 2} = \frac{10 x e^{10 x} - e^{10 x} + 20 C}{20 e^{10 x}}$