Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x}) = 6 x + 3$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$\frac{d}{d x} d y = (6 x + 3) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} d y = \int 6 x + 3 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{d}{d x} y + C_{1} = \int 6 x + 3 d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.2.1

Associez $\frac{d}{d x}$ et $y$ .

$\frac{d y}{d x} + C_{1} = \int 6 x + 3 d x$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez $\frac{d y}{d x} + C_{1}$ comme $\frac{1}{d x} d y + C_{1}$ .

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = \int 6 x + 3 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = \int 6 x d x + \int 3 d x$

Étape 2.3.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = 6 \int x d x + \int 3 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int 3 d x$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = 6 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 3 x + C_{3}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

$\frac{1}{d x} d y + C_{1} = 3 x^{2} + 3 x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{d x} d y = 3 x^{2} + 3 x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Simplifiez $\frac{1}{d x} d y$ .

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Étape 3.1.1

Associez $\frac{1}{d x}$ et $d$ .

$\frac{d}{d x} y = 3 x^{2} + 3 x + K$

Étape 3.1.2

Associez $\frac{d}{d x}$ et $y$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 3 x + K$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés par $d x$ .

$\frac{d y}{d x} d x = (3 x^{2} + 3 x + K) d x$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $d x$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} d x = (3 x^{2} + 3 x + K) d x$

Étape 3.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$d y = (3 x^{2} + 3 x + K) d x$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez $(3 x^{2} + 3 x + K) d x$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$d y = 3 x^{2} d x + 3 x d x + K d x$

Étape 3.3.2.1.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.3.2.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$d y = 3 d x x^{2} + 3 x d x + K d x$

Étape 3.3.2.1.2.2

Déplacez $x$ .

$d y = 3 d x x^{2} + 3 d x x + K d x$

Étape 3.3.2.1.2.3

Déplacez $3 d x x$ .

$d y = 3 d x x^{2} + K d x + 3 d x x$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $d y = 3 d x x^{2} + K d x + 3 d x x$ par $d$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $d y = 3 d x x^{2} + K d x + 3 d x x$ par $d$ .

$\frac{d y}{d} = \frac{3 d x x^{2}}{d} + \frac{K d x}{d} + \frac{3 d x x}{d}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $d$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d} = \frac{3 d x x^{2}}{d} + \frac{K d x}{d} + \frac{3 d x x}{d}$

Étape 3.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{3 d x x^{2}}{d} + \frac{K d x}{d} + \frac{3 d x x}{d}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{3 d x x^{2}}{d} + \frac{K}{d} + \frac{3 d x x}{d}$