Calcul infinitésimal Exemples

$4 t x \frac{d x}{d t} = x^{2} + 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $4 t x \frac{d x}{d t} = x^{2} + 1$ par $4 t x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $4 t x \frac{d x}{d t} = x^{2} + 1$ par $4 t x$ .

$\frac{4 t x \frac{d x}{d t}}{4 t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 t x \frac{d x}{d t}}{4 t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{t x \frac{d x}{d t}}{t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t x \frac{d x}{d t}}{t x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Étape 1.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \frac{d x}{d t}}{x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Étape 1.1.2.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d x}{d t}}{x} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Étape 1.1.2.3.2

Divisez $\frac{d x}{d t}$ par $1$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x^{2}}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.1.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Étape 1.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $4 t x$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{x (4 t)} + \frac{1}{4 t x}$

Étape 1.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{x (4 t)} + \frac{1}{4 t x}$

Étape 1.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x}{4 t} + \frac{1}{4 t x}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Pour écrire $\frac{x}{4 t}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x}{4 t} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{4 t x}$

Étape 1.2.2

Multipliez $\frac{x}{4 t}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x}{4 t x} + \frac{1}{4 t x}$

Étape 1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x \cdot x + 1}{4 t x}$

Étape 1.2.4

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d x}{d t} = \frac{x^{2} + 1}{4 t x}$

Étape 1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d x}{d t} = \frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{t}$

Étape 1.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} (\frac{x^{2} + 1}{4 x} \cdot \frac{1}{t})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Multipliez $\frac{x^{2} + 1}{4 x}$ par $\frac{1}{t}$ .

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{4 x t}$

Étape 1.5.2

Annulez le facteur commun de $4 x$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x t$ .

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{4 x (t)}$

Étape 1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4 x}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{4 x t}$

Étape 1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{t}$

Étape 1.5.3

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 1.5.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{x^{2} + 1}{t}$

Étape 1.5.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{t}$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{4 x}{x^{2} + 1} d x = \frac{1}{t} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{4 x}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{t} d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$4 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x = \int \frac{1}{t} d t$

Étape 2.2.2

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.2.1

Laissez $u = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.2.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.2.2.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 2.2.2.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Étape 2.2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$4 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Étape 2.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{t} d t$

Étape 2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Étape 2.2.5.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Étape 2.2.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Étape 2.2.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Étape 2.2.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Étape 2.2.5.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{t} d t$

Étape 2.2.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{t} d t$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$2 \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Étape 2.2.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} + 1$ .

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{t} d t$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{t}$ par rapport à $t$ est $\ln (| t |)$ .

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{1} = \ln (| t |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) = \ln (| t |) + C$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$2 \ln (| x^{2} + 1 |) - \ln (| t |) = C$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $2 \ln (| x^{2} + 1 |) - \ln (| t |)$ .

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| x^{2} + 1 |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln ({| x^{2} + 1 |}^{2}) - \ln (| t |) = C$

Étape 3.2.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x^{2} + 1 |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln ({(x^{2} + 1)}^{2}) - \ln (| t |) = C$

Étape 3.2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |}) = C$

Étape 3.3

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |})} = e^{C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |}$

Étape 3.5

Résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} = e^{C}$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} = e^{C}$

Étape 3.5.2

Multipliez les deux côtés par $| t |$ .

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.1

Annulez le facteur commun de $| t |$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{| t |} | t | = e^{C} | t |$

Étape 3.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} + 1)}^{2} = e^{C} | t |$

Étape 3.5.4

Résolvez $x$ .

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Étape 3.5.4.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x^{2} + 1 = \pm \sqrt{e^{C} | t |}$

Étape 3.5.4.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.4.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x^{2} + 1 = \sqrt{e^{C} | t |}$

Étape 3.5.4.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = \sqrt{e^{C} | t |} - 1$

Étape 3.5.4.2.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Étape 3.5.4.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.4.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Étape 3.5.4.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Étape 3.5.4.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Étape 3.5.4.2.5

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x^{2} + 1 = - \sqrt{e^{C} | t |}$

Étape 3.5.4.2.6

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - \sqrt{e^{C} | t |} - 1$

Étape 3.5.4.2.7

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Étape 3.5.4.2.8

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.4.2.8.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Étape 3.5.4.2.8.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Étape 3.5.4.2.8.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Étape 3.5.4.2.9

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{e^{C} | t |} - 1}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$x = \sqrt{\sqrt{C | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{\sqrt{C | t |} - 1}$

$x = \sqrt{- \sqrt{C | t |} - 1}$

$x = - \sqrt{- \sqrt{C | t |} - 1}$