Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 3 x^{2}}{y^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x + 3 x^{2}}{y^{2}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x + 3 x^{2}}{y^{2}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x + 3 x^{2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y^{2} d y = (x + 3 x^{2}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} d y = \int x + 3 x^{2} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x + 3 x^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x d x + \int 3 x^{2} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int 3 x^{2} d x$

Étape 2.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 3 \int x^{2} d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

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Étape 2.3.5.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 1 x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.5.2.3

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 x^{3} + 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3

Associez $3$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y^{3} = 3 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{3 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\sqrt[3]{3 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 K}$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 K$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{3}) + \frac{3 x^{2}}{2} + 3 K}$

Étape 3.4.1.2

Factorisez $3$ à partir de $\frac{3 x^{2}}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{3}) + 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 K}$

Étape 3.4.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{3}) + 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 K}$

Étape 3.4.1.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{3}) + 3 \frac{x^{2}}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{3} + \frac{x^{2}}{2}) + 3 K}$

Étape 3.4.1.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{3} + \frac{x^{2}}{2}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{3} + \frac{x^{2}}{2} + K)}$

Étape 3.4.2

Pour écrire $x^{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (x^{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + K)}$

Étape 3.4.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.3.1

Associez $x^{3}$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{3} \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2} + K)}$

Étape 3.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{3} \cdot 2 + x^{2}}{2} + K)}$

Étape 3.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.4.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} \cdot 2 + x^{2}$ .

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Étape 3.4.4.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} \cdot 2$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2} (x \cdot 2) + x^{2}}{2} + K)}$

Étape 3.4.4.1.2

Multipliez par $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2} (x \cdot 2) + x^{2} \cdot 1}{2} + K)}$

Étape 3.4.4.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (x \cdot 2) + x^{2} \cdot 1$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2} (x \cdot 2 + 1)}{2} + K)}$

Étape 3.4.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2} (2 x + 1)}{2} + K)}$

Étape 3.4.5

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2} (2 x + 1)}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}$

Étape 3.4.6

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.6.1

Associez $K$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2} (2 x + 1)}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}$

Étape 3.4.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2} (2 x + 1) + K \cdot 2}{2}}$

Étape 3.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 1 + K \cdot 2}{2}}$

Étape 3.4.7.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + K \cdot 2}{2}}$

Étape 3.4.7.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{2 x^{2} x + x^{2} + K \cdot 2}{2}}$

Étape 3.4.7.4

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.7.4.1

Déplacez $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} + K \cdot 2}{2}}$

Étape 3.4.7.4.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.4.7.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} + K \cdot 2}{2}}$

Étape 3.4.7.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} + K \cdot 2}{2}}$

Étape 3.4.7.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{2 x^{3} + x^{2} + K \cdot 2}{2}}$

Étape 3.4.7.5

Déplacez $2$ à gauche de $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{2 x^{3} + x^{2} + 2 K}{2}}$

Étape 3.4.8

Associez $3$ et $\frac{2 x^{3} + x^{2} + 2 K}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)}{2}}$

Étape 3.4.9

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)}{2}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$

Étape 3.4.10

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 3.4.11

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.11.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 3.4.11.2

Élevez $\sqrt[3]{2}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 3.4.11.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Étape 3.4.11.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Étape 3.4.11.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ comme $2$ .

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Étape 3.4.11.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2}$ comme $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.4.11.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.4.11.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.11.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.11.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.11.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Étape 3.4.11.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Étape 3.4.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.12.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Étape 3.4.12.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)} \sqrt[3]{4}}{2}$

Étape 3.4.13

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.13.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K) \cdot 4}}{2}$

Étape 3.4.13.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (2 x^{3} + x^{2} + 2 K)}}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (2 x^{3} + x^{2} + K)}}{2}$