Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = \frac{t}{t^{2} y + y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $t^{2} y + y$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $t^{2} y$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t}{y t^{2} + y}$

Étape 1.1.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t}{y t^{2} + y^{1}}$

Étape 1.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t}{y t^{2} + y \cdot 1}$

Étape 1.1.4

Factorisez $y$ à partir de $y t^{2} + y \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{t}{y (t^{2} + 1)}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d t} = \frac{t}{t^{2} + 1} \cdot \frac{1}{y}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y (\frac{t}{t^{2} + 1} \cdot \frac{1}{y})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{t}{t^{2} + 1}$ par $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{t}{(t^{2} + 1) y}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $(t^{2} + 1) y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{t}{y (t^{2} + 1)}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{t}{y (t^{2} + 1)}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d t} = \frac{t}{t^{2} + 1}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = t^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 t d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = t^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 2.3.1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$2 t + 0$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$2 t$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 2.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| t^{2} + 1 |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{2} \ln (| t^{2} + 1 |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t^{2} + 1 |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t^{2} + 1 |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t^{2} + 1 |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| t^{2} + 1 |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| t^{2} + 1 |) + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| t^{2} + 1 |)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| t^{2} + 1 |)}{2} + C)$

Étape 3.2.2.1.2

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| t^{2} + 1 |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1.3.1

Associez $C$ et $\frac{2}{2}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| t^{2} + 1 |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Étape 3.2.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| t^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| t^{2} + 1 |) + C \cdot 2}{2}$

Étape 3.2.2.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = \ln (| t^{2} + 1 |) + C \cdot 2$

Étape 3.2.2.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $C$ .

$y^{2} = \ln (| t^{2} + 1 |) + 2 C$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\ln (| t^{2} + 1 |) + 2 C}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{\ln (| t^{2} + 1 |) + 2 C}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{\ln (| t^{2} + 1 |) + 2 C}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{\ln (| t^{2} + 1 |) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln (| t^{2} + 1 |) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln (| t^{2} + 1 |) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln (| t^{2} + 1 |) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln (| t^{2} + 1 |) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln (| t^{2} + 1 |) + 2 C}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{\ln (| t^{2} + 1 |) + C}$

$y = - \sqrt{\ln (| t^{2} + 1 |) + C}$