Calcul infinitésimal Exemples

$(x y^{2} + y - x) d x + x (x y + 1) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x y^{2} + y - x$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} + y - x]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y^{2} + y - x$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y^{2}$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 1.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 1.4

Différenciez.

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Étape 1.4.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Étape 1.4.2

Comme $- x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1 + 0$

Étape 1.4.3

Additionnez $2 x y + 1$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = x (x y + 1)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x y + 1)]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x y + 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x y + 1] + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (y + \frac{d}{d x} [1]) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (y + 0) + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.6

Additionnez $y$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y + (x y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y + (x y + 1) \cdot 1$

Étape 2.3.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.3.8.1

Multipliez $x y + 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x y + x y + 1$

Étape 2.3.8.2

Additionnez $x y$ et $x y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y + 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $2 x y + 1$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x y + 1$ .

$2 x y + 1 = 2 x y + 1$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$2 x y + 1 = 2 x y + 1$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x (x y + 1) d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = x (x y + 1)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , placez $x$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x \int x y + 1 d y$

Étape 5.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = x (\int x y d y + \int d y)$

Étape 5.3

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , placez $x$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = x (x \int y d y + \int d y)$

Étape 5.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x (x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int d y)$

Étape 5.5

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = x (x (\frac{1}{2} y^{2} + C) + y + C)$

Étape 5.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = x (x (\frac{y^{2}}{2} + C) + y + C)$

Étape 5.7

Simplifiez

$f (x, y) = x (\frac{x y^{2}}{2} + y) + C$

Étape 5.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x, y) = x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x y^{2} + y - x$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) + g (x)] = x y^{2} + y - x$

Étape 8.2

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{x}{2} y^{2} + y) + g (x)] = x y^{2} + y - x$

Étape 8.2.1.2

Associez $\frac{x}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{x y^{2}}{2} + y) + g (x)] = x y^{2} + y - x$

Étape 8.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x (\frac{x y^{2}}{2} + y) + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x (\frac{x y^{2}}{2} + y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x (\frac{x y^{2}}{2} + y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x (\frac{x y^{2}}{2} + y)]$ .

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Étape 8.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \frac{x y^{2}}{2} + y$ .

$x \frac{d}{d x} [\frac{x y^{2}}{2} + y] + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Étape 8.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x y^{2}}{2} + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$x (\frac{d}{d x} [\frac{x y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [y]) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Étape 8.3.3

Comme $\frac{y^{2}}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x y^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Étape 8.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (\frac{y^{2}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y]) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Étape 8.3.5

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x (\frac{y^{2}}{2} \cdot 1 + 0) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Étape 8.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (\frac{y^{2}}{2} \cdot 1 + 0) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Étape 8.3.7

Multipliez $\frac{y^{2}}{2}$ par $1$ .

$x (\frac{y^{2}}{2} + 0) + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Étape 8.3.8

Additionnez $\frac{y^{2}}{2}$ et $0$ .

$x \frac{y^{2}}{2} + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Étape 8.3.9

Associez $x$ et $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{x y^{2}}{2} + (\frac{x y^{2}}{2} + y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Étape 8.3.10

Multipliez $\frac{x y^{2}}{2} + y$ par $1$ .

$\frac{x y^{2}}{2} + \frac{x y^{2}}{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Étape 8.3.11

Additionnez $\frac{x y^{2}}{2}$ et $\frac{x y^{2}}{2}$ .

$2 \frac{x y^{2}}{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Étape 8.3.12

Associez $2$ et $\frac{x y^{2}}{2}$ .

$\frac{2 (x y^{2})}{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Étape 8.3.13

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.13.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x y^{2}}{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Étape 8.3.13.2

Divisez $x y^{2}$ par $1$ .

$x y^{2} + y + \frac{d}{d x} [g (x)] = x y^{2} + y - x$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$x y^{2} + y + \frac{d g}{d x} = x y^{2} + y - x$

Étape 8.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} x + y = x y^{2} + y - x$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + y = x y^{2} + y - x - y^{2} x$

Étape 9.1.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = x y^{2} + y - x - y^{2} x - y$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $x y^{2} + y - x - y^{2} x - y$ .

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Étape 9.1.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x y^{2}$ et $- y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y^{2} x + y - x - y^{2} x - y$

Étape 9.1.3.2

Soustrayez $y^{2} x$ de $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = y - x + 0 - y$

Étape 9.1.3.3

Additionnez $y - x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = y - x - y$

Étape 9.1.3.4

Soustrayez $y$ de $y$ .

$\frac{d g}{d x} = - x + 0$

Étape 9.1.3.5

Additionnez $- x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x$

Étape 10

Déterminez la primitive de $- x$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = - x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x d x$

Étape 10.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - \int x d x$

Étape 10.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 10.5

Réécrivez $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x (\frac{1}{2} x y^{2} + y) - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$f (x, y) = x (\frac{x}{2} y^{2} + y) - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 12.1.2

Associez $\frac{x}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = x (\frac{x y^{2}}{2} + y) - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = x \frac{x y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 12.3

Multipliez $x \frac{x y^{2}}{2}$ .

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Étape 12.3.1

Associez $x$ et $\frac{x y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x (x y^{2})}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 12.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 12.3.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{1} x^{1} y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 12.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f (x, y) = \frac{x^{1 + 1} y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 12.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + x y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 12.4

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} y^{2}}{2} + x y - \frac{x^{2}}{2} + C$