Calcul infinitésimal Exemples

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} - 2 x y - 2 x = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 1 \frac{d y}{d x} - 2 x y - 2 x = 0$

Étape 1.1.1.2

Multipliez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} - 2 x y - 2 x = 0$

Étape 1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d y}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.2.1

Ajoutez $2 x y$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} - 2 x = 2 x y$

Étape 1.1.2.2

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = 2 x y + 2 x$

Étape 1.1.3

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $x^{2} \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.3.1

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = 2 x y + 2 x$

Étape 1.1.3.2

Élevez $\frac{d y}{d x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} = 2 x y + 2 x$

Étape 1.1.3.3

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de ${(\frac{d y}{d x})}^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1 = 2 x y + 2 x$

Étape 1.1.3.4

Factorisez $\frac{d y}{d x}$ à partir de $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = 2 x y + 2 x$

Étape 1.1.4

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = 2 x y + 2 x$ par $x^{2} + 1$ et simplifiez.

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Étape 1.1.4.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1) = 2 x y + 2 x$ par $x^{2} + 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{2 x y}{x^{2} + 1} + \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + 1$ .

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Étape 1.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{2 x y}{x^{2} + 1} + \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{x^{2} + 1} + \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y + 2 x}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x y + 2 x$ .

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Étape 1.1.4.3.2.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (y) + 2 x}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.2.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (y) + 2 x (1)}{x^{2} + 1}$

Étape 1.1.4.3.2.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (y) + 2 x (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x (y + 1)}{x^{2} + 1}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1)$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y + 1}$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} (\frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1))$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $y + 1$ à partir de $\frac{2 x}{x^{2} + 1} (y + 1)$ .

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{2 x}{x^{2} + 1})$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1} ((y + 1) \frac{2 x}{x^{2} + 1})$

Étape 1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y + 1} d y = \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = y + 1$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = y + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{2} = x^{2} + 1$ . Alors $d u_{2} = 2 x d x$ , donc $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{2} = x^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.2.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 2.3.2.1.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{2}$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.3

Multipliez $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ par $1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y + 1 |) + C_{1} = \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y + 1 |) = \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| x^{2} + 1 |) = C$

Étape 3.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |}) = C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |})} = e^{C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |}$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} = e^{C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} = e^{C}$

Étape 3.5.2

Multipliez les deux côtés par $| x^{2} + 1 |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} | x^{2} + 1 | = e^{C} | x^{2} + 1 |$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.1

Annulez le facteur commun de $| x^{2} + 1 |$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y + 1 |}{| x^{2} + 1 |} | x^{2} + 1 | = e^{C} | x^{2} + 1 |$

Étape 3.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y + 1 | = e^{C} | x^{2} + 1 |$

Étape 3.5.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C} | x^{2} + 1 |$ .

$| y + 1 | = | x^{2} + 1 | e^{C}$

Étape 3.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | x^{2} + 1 | e^{C}$

Étape 3.5.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm | x^{2} + 1 | e^{C}$ .

$y + 1 = \pm e^{C} | x^{2} + 1 |$

Étape 3.5.4.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = \pm e^{C} | x^{2} + 1 | - 1$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm C | x^{2} + 1 | - 1$

Étape 4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C | x^{2} + 1 | - 1$