Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{y^{2} + 1} d x - x y d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $\sqrt{y^{2} + 1} d x$ des deux côtés de l’équation.

$- x y d y = - \sqrt{y^{2} + 1} d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}}$ .

$\frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- x y) d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (x y) d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (x y) d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Étape 3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x \sqrt{y^{2} + 1}$ .

$\frac{- 1}{x (\sqrt{y^{2} + 1})} (x y) d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Étape 3.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{- 1}{x (\sqrt{y^{2} + 1})} (x (y)) d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (x y) d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Étape 3.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{\sqrt{y^{2} + 1}} y d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Étape 3.3

Associez $\frac{- 1}{\sqrt{y^{2} + 1}}$ et $y$ .

$\frac{- y}{\sqrt{y^{2} + 1}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 1}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Étape 3.5

Multipliez $\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 1}}$ par $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y^{2} + 1}}$ .

$- (\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y^{2} + 1}}) d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Étape 3.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $\frac{y}{\sqrt{y^{2} + 1}}$ par $\frac{\sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y^{2} + 1}}$ .

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{\sqrt{y^{2} + 1} \sqrt{y^{2} + 1}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Étape 3.6.2

Élevez $\sqrt{y^{2} + 1}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{\sqrt{y^{2} + 1}}^{1} \sqrt{y^{2} + 1}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Étape 3.6.3

Élevez $\sqrt{y^{2} + 1}$ à la puissance $1$ .

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{\sqrt{y^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{y^{2} + 1}}^{1}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Étape 3.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{\sqrt{y^{2} + 1}}^{1 + 1}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Étape 3.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{\sqrt{y^{2} + 1}}^{2}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Étape 3.6.6

Réécrivez ${\sqrt{y^{2} + 1}}^{2}$ comme $y^{2} + 1$ .

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Étape 3.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y^{2} + 1}$ comme ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Étape 3.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Étape 3.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Étape 3.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{(y^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Étape 3.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{{(y^{2} + 1)}^{1}} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Étape 3.6.6.5

Simplifiez

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} (- \sqrt{y^{2} + 1}) d x$

Étape 3.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} \sqrt{y^{2} + 1} d x$

Étape 3.8

Annulez le facteur commun de $\sqrt{y^{2} + 1}$ .

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Étape 3.8.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x \sqrt{y^{2} + 1}}$ dans le numérateur.

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x \sqrt{y^{2} + 1}} \sqrt{y^{2} + 1} d x$

Étape 3.8.2

Factorisez $\sqrt{y^{2} + 1}$ à partir de $x \sqrt{y^{2} + 1}$ .

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{\sqrt{y^{2} + 1} x} \sqrt{y^{2} + 1} d x$

Étape 3.8.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{\sqrt{y^{2} + 1} x} \sqrt{y^{2} + 1} d x$

Étape 3.8.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Étape 3.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int - \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{y \sqrt{y^{2} + 1}}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.2

Laissez $u = y^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.2.2.1

Laissez $u = y^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Différenciez $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Étape 4.2.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 4.2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 4.2.2.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$2 y + 0$

Étape 4.2.2.1.5

Additionnez $2 y$ et $0$ .

$2 y$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3

Simplifiez

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{u}}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$- \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.5.2

Simplifiez

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Étape 4.2.5.2.1

Placez $u^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.5.2.2

Multipliez $u$ par $u^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.5.2.2.1

Multipliez $u$ par $u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.2.5.2.2.1.1

Élevez $u$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.5.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.5.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.5.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.5.2.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$- \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.5.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.2.5.3.1

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.5.3.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.5.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.5.3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.5.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.7

Simplifiez

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Étape 4.2.7.1

Réécrivez $- \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ comme $- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.7.2

Simplifiez

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Étape 4.2.7.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 (\frac{1}{2}) u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.7.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.7.2.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 4.2.7.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.7.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.7.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.7.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.7.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{1} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.7.2.3.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{2} + 1$ .

$- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 4.3.3

Simplifiez

$- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = - \ln (| x |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = - \ln (| x |) + C$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.1.1

Divisez chaque terme dans $- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = - \ln (| x |) + C$ par $- 1$ .

$\frac{- {(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{- 1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{{(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{1} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.1.2.2

Divisez ${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = \frac{- \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = \frac{\ln (| x |)}{1} + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.1.3.1.2

Divisez $\ln (| x |)$ par $1$ .

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Étape 5.1.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Étape 5.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = \ln (| x |) - C$

Étape 5.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\ln (| x |) - C)}^{2}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1

Simplifiez ${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) - C)}^{2}$

Étape 5.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\ln (| x |) - C)}^{2}$

Étape 5.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y^{2} + 1)}^{1} = {(\ln (| x |) - C)}^{2}$

Étape 5.3.1.2

Simplifiez

$y^{2} + 1 = {(\ln (| x |) - C)}^{2}$

Étape 5.4

Résolvez $y$ .

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Étape 5.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} = {(\ln (| x |) - C)}^{2} - 1$

Étape 5.4.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) - C)}^{2} - 1}$

Étape 5.4.3

Simplifiez $\pm \sqrt{{(\ln (| x |) - C)}^{2} - 1}$ .

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Étape 5.4.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\ln (| x |) - C)}^{2} - 1^{2}}$

Étape 5.4.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \ln (| x |) - C$ et $b = 1$ .

$y = \pm \sqrt{(\ln (| x |) - C + 1) (\ln (| x |) - C - 1)}$

Étape 5.4.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.4.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{(\ln (| x |) - C + 1) (\ln (| x |) - C - 1)}$

Étape 5.4.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{(\ln (| x |) - C + 1) (\ln (| x |) - C - 1)}$

Étape 5.4.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{(\ln (| x |) - C + 1) (\ln (| x |) - C - 1)}$

$y = - \sqrt{(\ln (| x |) - C + 1) (\ln (| x |) - C - 1)}$

$y = \sqrt{(\ln (| x |) - C + 1) (\ln (| x |) - C - 1)}$

$y = - \sqrt{(\ln (| x |) - C + 1) (\ln (| x |) - C - 1)}$

$y = \sqrt{(\ln (| x |) - C + 1) (\ln (| x |) - C - 1)}$

$y = - \sqrt{(\ln (| x |) - C + 1) (\ln (| x |) - C - 1)}$

$y = \sqrt{(\ln (| x |) - C + 1) (\ln (| x |) - C - 1)}$

$y = - \sqrt{(\ln (| x |) - C + 1) (\ln (| x |) - C - 1)}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$

$y = - \sqrt{(\ln (| x |) + C) (\ln (| x |) + C)}$