Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 6}{7 y^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} (- \frac{x + 6}{7 y^{2}})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = - y^{2} \frac{x + 6}{7 y^{2}}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $- y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \cdot - 1 \frac{x + 6}{7 y^{2}}$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $y^{2}$ à partir de $7 y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \cdot - 1 \frac{x + 6}{y^{2} \cdot 7}$

Étape 1.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \cdot - 1 \frac{x + 6}{y^{2} \cdot 7}$

Étape 1.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = - \frac{x + 6}{7}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y^{2} d y = - \frac{x + 6}{7} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} d y = \int - \frac{x + 6}{7} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{x + 6}{7} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \int \frac{x + 6}{7} d x$

Étape 2.3.2

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{7}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - (\frac{1}{7} \int x + 6 d x)$

Étape 2.3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{7} (\int x d x + \int 6 d x)$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int 6 d x)$

Étape 2.3.5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 6 x + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + 6 x) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + 6 x) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + 6 x) + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + 6 x) + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + 6 x) + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + 6 x) + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} x^{2} + 6 x) + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{7} (\frac{x^{2}}{2} + 6 x) + K)$

Étape 3.2.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{7} \cdot \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{7} (6 x) + K)$

Étape 3.2.2.1.1.3

Multipliez $- \frac{1}{7} \cdot \frac{x^{2}}{2}$ .

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Étape 3.2.2.1.1.3.1

Multipliez $\frac{x^{2}}{2}$ par $\frac{1}{7}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{2 \cdot 7} - \frac{1}{7} (6 x) + K)$

Étape 3.2.2.1.1.3.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{14} - \frac{1}{7} (6 x) + K)$

Étape 3.2.2.1.1.4

Multipliez $- \frac{1}{7} (6 x)$ .

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Étape 3.2.2.1.1.4.1

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{14} - 6 (\frac{1}{7}) x + K)$

Étape 3.2.2.1.1.4.2

Associez $- 6$ et $\frac{1}{7}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{14} + \frac{- 6}{7} x + K)$

Étape 3.2.2.1.1.4.3

Associez $\frac{- 6}{7}$ et $x$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{14} + \frac{- 6 x}{7} + K)$

Étape 3.2.2.1.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{14} - \frac{6 x}{7} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{2}}{14}) + 3 (- \frac{6 x}{7}) + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1.3.1

Multipliez $3 (- \frac{x^{2}}{14})$ .

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Étape 3.2.2.1.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{x^{2}}{14} + 3 (- \frac{6 x}{7}) + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3.1.2

Associez $- 3$ et $\frac{x^{2}}{14}$ .

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{14} + 3 (- \frac{6 x}{7}) + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Multipliez $3 (- \frac{6 x}{7})$ .

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Étape 3.2.2.1.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{14} - 3 \frac{6 x}{7} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{6 x}{7}$ .

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{14} + \frac{- 3 (6 x)}{7} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.3.2.3

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$y^{3} = \frac{- 3 x^{2}}{14} + \frac{- 18 x}{7} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{3} = - \frac{3 x^{2}}{14} + \frac{- 18 x}{7} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{3} = - \frac{3 x^{2}}{14} - \frac{18 x}{7} + 3 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{14} - \frac{18 x}{7} + 3 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{14} - \frac{18 x}{7} + 3 K}$ .

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Étape 3.4.1

Pour écrire $- \frac{18 x}{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{14} - \frac{18 x}{7} \cdot \frac{2}{2} + 3 K}$

Étape 3.4.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $14$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.2.1

Multipliez $\frac{18 x}{7}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{14} - \frac{18 x \cdot 2}{7 \cdot 2} + 3 K}$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $7$ par $2$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{3 x^{2}}{14} - \frac{18 x \cdot 2}{14} + 3 K}$

Étape 3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{\frac{- 3 x^{2} - 18 x \cdot 2}{14} + 3 K}$

Étape 3.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.4.1

Factorisez $3 x$ à partir de $- 3 x^{2} - 18 x \cdot 2$ .

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Étape 3.4.4.1.1

Factorisez $3 x$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x (- x) - 18 x \cdot 2}{14} + 3 K}$

Étape 3.4.4.1.2

Factorisez $3 x$ à partir de $- 18 x \cdot 2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x (- x) + 3 x (- 6 \cdot 2)}{14} + 3 K}$

Étape 3.4.4.1.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (- x) + 3 x (- 6 \cdot 2)$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x (- x - 6 \cdot 2)}{14} + 3 K}$

Étape 3.4.4.2

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x (- x - 12)}{14} + 3 K}$

Étape 3.4.5

Pour écrire $3 K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{14}{14}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x (- x - 12)}{14} + 3 K \cdot \frac{14}{14}}$

Étape 3.4.6

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.6.1

Associez $3 K$ et $\frac{14}{14}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x (- x - 12)}{14} + \frac{3 K \cdot 14}{14}}$

Étape 3.4.6.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x (- x - 12) + 3 K \cdot 14}{14}}$

Étape 3.4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.7.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x (- x - 12) + 3 K \cdot 14$ .

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Étape 3.4.7.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x (- x - 12)$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x (- x - 12)) + 3 K \cdot 14}{14}}$

Étape 3.4.7.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 K \cdot 14$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x (- x - 12)) + 3 (K \cdot 14)}{14}}$

Étape 3.4.7.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (x (- x - 12)) + 3 (K \cdot 14)$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x (- x - 12) + K \cdot 14)}{14}}$

Étape 3.4.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x (- x) + x \cdot - 12 + K \cdot 14)}{14}}$

Étape 3.4.7.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- x \cdot x + x \cdot - 12 + K \cdot 14)}{14}}$

Étape 3.4.7.4

Déplacez $- 12$ à gauche de $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- x \cdot x - 12 \cdot x + K \cdot 14)}{14}}$

Étape 3.4.7.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.7.5.1

Déplacez $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- (x \cdot x) - 12 \cdot x + K \cdot 14)}{14}}$

Étape 3.4.7.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- x^{2} - 12 \cdot x + K \cdot 14)}{14}}$

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- x^{2} - 12 x + K \cdot 14)}{14}}$

Étape 3.4.7.6

Déplacez $14$ à gauche de $K$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)}{14}}$

Étape 3.4.8

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)}{14}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)}}{\sqrt[3]{14}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)}}{\sqrt[3]{14}}$

Étape 3.4.9

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)}}{\sqrt[3]{14}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{14}}^{2}}{{\sqrt[3]{14}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)}}{\sqrt[3]{14}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{14}}^{2}}{{\sqrt[3]{14}}^{2}}$

Étape 3.4.10

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.10.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)}}{\sqrt[3]{14}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{14}}^{2}}{{\sqrt[3]{14}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{\sqrt[3]{14} {\sqrt[3]{14}}^{2}}$

Étape 3.4.10.2

Élevez $\sqrt[3]{14}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{{\sqrt[3]{14}}^{1} {\sqrt[3]{14}}^{2}}$

Étape 3.4.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{{\sqrt[3]{14}}^{1 + 2}}$

Étape 3.4.10.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{{\sqrt[3]{14}}^{3}}$

Étape 3.4.10.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{14}}^{3}$ comme $14$ .

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Étape 3.4.10.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{14}$ comme $14^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{{(14^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.4.10.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{14^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.4.10.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{14^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.10.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.10.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{14^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.4.10.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{14^{1}}$

Étape 3.4.10.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} {\sqrt[3]{14}}^{2}}{14}$

Étape 3.4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.11.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{14}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{14^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} \sqrt[3]{14^{2}}}{14}$

Étape 3.4.11.2

Élevez $14$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K)} \sqrt[3]{196}}{14}$

Étape 3.4.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.12.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- x^{2} - 12 x + 14 K) \cdot 196}}{14}$

Étape 3.4.12.2

Multipliez $196$ par $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{588 (- x^{2} - 12 x + 14 K)}}{14}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt[3]{588 (- x^{2} - 12 x + K)}}{14}$