Calcul infinitésimal Exemples

$(t^{2} + 1) d t + (y^{2} + y) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $(t^{2} + 1) d t$ des deux côtés de l’équation.

$(y^{2} + y) d y = - (t^{2} + 1) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} + y d y = \int - (t^{2} + 1) d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y^{2} d y + \int y d y = \int - (t^{2} + 1) d t$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int y d y = \int - (t^{2} + 1) d t$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int - (t^{2} + 1) d t$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - (t^{2} + 1) d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Multipliez $- (t^{2} + 1)$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - t^{2} - 1 \cdot 1 d t$

Étape 2.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - t^{2} - 1 d t$

Étape 2.3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int - t^{2} d t + \int - 1 d t$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \int t^{2} d t + \int - 1 d t$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) + \int - 1 d t$

Étape 2.3.6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - (\frac{1}{3} t^{3} + C_{4}) - t + C_{5}$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $t^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - (\frac{t^{3}}{3} + C_{4}) - t + C_{5}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = - \frac{1}{3} t^{3} - t + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + \frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{3} t^{3} - t + K$