Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2} y^{2}}{1 + x}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{1 + x} y^{2}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1 + x}{x^{2}}$ .

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1 + x}{x^{2}} (\frac{x^{2}}{1 + x} y^{2})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Associez $\frac{x^{2}}{1 + x}$ et $y^{2}$ .

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1 + x}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} y^{2}}{1 + x}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1 + x}{x^{2}} \cdot \frac{x^{2} y^{2}}{1 + x}$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2})$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.3.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} (y^{2}))$

Étape 1.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = \frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2})$

Étape 1.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + x}{x^{2}} \frac{d x}{d y} = y^{2}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1 + x}{x^{2}} d x = y^{2} d y$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1 + x}{x^{2}} d x = \int y^{2} d y$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (1 + x) {(x^{2})}^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + x) x^{2 \cdot - 1} d x = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int (1 + x) x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.2

Multipliez $(1 + x) x^{- 2}$ .

$\int 1 x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$\int x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.3.2.1

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ .

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Étape 2.2.3.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\int x^{- 2} + x^{1} x^{- 2} d x = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.3.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int x^{- 2} + x^{1 - 2} d x = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.3.2.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\int x^{- 2} + x^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int x^{- 2} d x + \int x^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$- x^{- 1} + C_{1} + \int x^{- 1} d x = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.6

L’intégrale de $x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- x^{- 1} + C_{1} + \ln (| x |) + C_{2} = \int y^{2} d y$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$- \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{3} = \int y^{2} d y$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$- \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{3} = \frac{1}{3} y^{3} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{x} + \ln (| x |) = \frac{1}{3} y^{3} + C$