Calcul infinitésimal Exemples

$d x - \frac{1}{1 + y^{2}} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $d x$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{1}{1 + y^{2}} d y = - d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int - \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - 1 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - 1 d x$

Étape 2.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- \int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - 1 d x$

Étape 2.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\arctan (y) + C_{1}$ .

$- (\arctan (y) + C_{1}) = \int - 1 d x$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$- \arctan (y) + C_{1} = \int - 1 d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$- \arctan (y) + C_{1} = - x + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \arctan (y) = - x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- \arctan (y) = - x + K$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- \arctan (y) = - x + K$ par $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $\arctan (y)$ par $1$ .

$\arctan (y) = \frac{- x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\arctan (y) = \frac{x}{1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$\arctan (y) = x + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{K}{- 1}$ .

$\arctan (y) = x - 1 \cdot K$

Étape 3.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot K$ comme $- K$ .

$\arctan (y) = x - K$

Étape 3.2

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$y = \tan (x - K)$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \tan (x + K)$