Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} + (3 x + 1) y = e^{- 3 x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} + (3 x + 1) y = e^{- 3 x}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{(3 x + 1) y}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{(3 x + 1) y}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{(3 x + 1) y}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Étape 1.3

Factorisez $y$ à partir de $\frac{(3 x + 1) y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{3 x + 1}{x} = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Étape 1.4

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{3 x + 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 x + 1}{x} y = \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{3 x + 1}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{3 x + 1}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{3 x + 1}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$e^{\int \frac{3 x}{x} + \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$e^{\int \frac{3 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\int \frac{3 x}{x} d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.3.2

Divisez $3$ par $1$ .

$e^{\int 3 d x + \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.4

Appliquez la règle de la constante.

$e^{3 x + C + \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{3 x + C + \ln (| x |) + C}$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$e^{3 x + \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{3 x + \ln (x)}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{3 x + \ln (x)}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $e^{3 x + \ln (x)}$ .

$e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{3 x + \ln (x)} (\frac{3 x + 1}{x} y) = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{3 x + 1}{x}$ et $y$ .

$e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + e^{3 x + \ln (x)} \frac{(3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Étape 3.2.2

Associez $e^{3 x + \ln (x)}$ et $\frac{(3 x + 1) y}{x}$ .

$e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Étape 3.3

Pour écrire $e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Factorisez $e^{3 x + \ln (x)}$ à partir de $e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x + e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y$ .

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Étape 3.5.1.1

Factorisez $e^{3 x + \ln (x)}$ à partir de $e^{3 x + \ln (x)} \frac{d y}{d x} x$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Étape 3.5.1.2

Factorisez $e^{3 x + \ln (x)}$ à partir de $e^{3 x + \ln (x)} (3 x + 1) y$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{3 x + \ln (x)} ((3 x + 1) y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Étape 3.5.1.3

Factorisez $e^{3 x + \ln (x)}$ à partir de $e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x) + e^{3 x + \ln (x)} ((3 x + 1) y)$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + (3 x + 1) y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Étape 3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + 1 y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Étape 3.5.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$

Étape 3.6

Multipliez $e^{3 x + \ln (x)} \frac{e^{- 3 x}}{x}$ .

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Étape 3.6.1

Associez $e^{3 x + \ln (x)}$ et $\frac{e^{- 3 x}}{x}$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{3 x + \ln (x)} e^{- 3 x}}{x}$

Étape 3.6.2

Multipliez $e^{3 x + \ln (x)}$ par $e^{- 3 x}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{3 x + \ln (x) - 3 x}}{x}$

Étape 3.6.2.2

Associez les termes opposés dans $3 x + \ln (x) - 3 x$ .

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Étape 3.6.2.2.1

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{0 + \ln (x)}}{x}$

Étape 3.6.2.2.2

Additionnez $0$ et $\ln (x)$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{e^{\ln (x)}}{x}$

Étape 3.7

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{x}{x}$

Étape 3.8

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = \frac{x}{x}$

Étape 3.8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = 1$

Étape 3.9

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{e^{3 x + \ln (x)} (\frac{d y}{d x} x + 3 x y + y)}{x} = 1$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} (x \frac{d y}{d x} + 3 x y + y)}{x} = 1$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x + \ln (x)} y] = 1$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{3 x + \ln (x)} y] d x = \int d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$e^{3 x + \ln (x)} y = \int d x$

Étape 7

Appliquez la règle de la constante.

$e^{3 x + \ln (x)} y = x + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $e^{3 x + \ln (x)} y = x + C$ par $e^{3 x + \ln (x)}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $e^{3 x + \ln (x)} y = x + C$ par $e^{3 x + \ln (x)}$ .

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} y}{e^{3 x + \ln (x)}} = \frac{x}{e^{3 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{3 x + \ln (x)}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{3 x + \ln (x)}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{3 x + \ln (x)} y}{e^{3 x + \ln (x)}} = \frac{x}{e^{3 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{3 x + \ln (x)}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x}{e^{3 x + \ln (x)}} + \frac{C}{e^{3 x + \ln (x)}}$