Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} = 2 x e^{x} - y + 6 x^{2}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$x \frac{d y}{d x} + y = 2 x e^{x} + 6 x^{2}$

Étape 1.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{2} + 2 e^{x} x$

Étape 2

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $x y$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Étape 2.4

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Étape 2.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Étape 2.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x y] = 6 x^{2} + 2 e^{x} x$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 6 x^{2} + 2 e^{x} x d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$x y = \int 6 x^{2} + 2 e^{x} x d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x y = \int 6 x^{2} d x + \int 2 e^{x} x d x$

Étape 6.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$x y = 6 \int x^{2} d x + \int 2 e^{x} x d x$

Étape 6.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 e^{x} x d x$

Étape 6.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int e^{x} x d x$

Étape 6.5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Étape 6.6

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$x y = 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Étape 6.7

Simplifiez

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Étape 6.7.1

Simplifiez

$x y = 6 (\frac{1}{3}) x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Étape 6.7.2

Simplifiez

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Étape 6.7.2.1

Associez $6$ et $\frac{1}{3}$ .

$x y = \frac{6}{3} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Étape 6.7.2.2

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 6.7.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Étape 6.7.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.7.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Étape 6.7.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x y = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Étape 6.7.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x y = \frac{2}{1} x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Étape 6.7.2.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $x y = 2 x^{3} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ par $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.1.2.5

Divisez $2 x^{2}$ par $1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x e^{x} - e^{x}$ .

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Étape 7.3.1.2.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x e^{x}$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} x - e^{x})}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.2.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x}$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} x + e^{x} \cdot - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.2.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x + e^{x} \cdot - 1$ .

$y = 2 x^{2} + \frac{2 (e^{x} (x - 1))}{x} + \frac{C}{x}$

$y = 2 x^{2} + \frac{2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.2

Pour écrire $2 x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{2 x^{2} x}{x} + \frac{2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{2 x^{2} x + 2 e^{x} (x - 1)}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{2 x^{2} x + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Étape 7.3.5

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.3.5.1

Déplacez $x$ .

$y = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Étape 7.3.5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 7.3.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Étape 7.3.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Étape 7.3.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} (x - 1) + C}{x}$

Étape 7.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x + 2 e^{x} \cdot - 1 + C}{x}$

Étape 7.3.6.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y = \frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x - 2 e^{x} + C}{x}$

Étape 7.3.7

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{2 x^{3} + 2 e^{x} x - 2 e^{x} + C}{x}$ .

$y = \frac{2 x^{3} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C}{x}$