Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 5 e^{6 x} + \frac{- 3 x^{6} + 4 x}{x^{2}}$

Étape 1

La fonction $F (x)$ peut être trouvée en déterminant l’intégrale infinie de la dérivée $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Étape 2

Définissez l’intégrale à résoudre.

$F (x) = \int 5 e^{6 x} + \frac{- 3 x^{6} + 4 x}{x^{2}} d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{6} + 4 x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{6}$ .

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5}) + 4 x}{x^{2}} d x$

Étape 3.1.2

Factorisez $x$ à partir de $4 x$ .

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5}) + x \cdot 4}{x^{2}} d x$

Étape 3.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (- 3 x^{5}) + x \cdot 4$ .

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5} + 4)}{x^{2}} d x$

Étape 3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5} + 4)}{x \cdot x} d x$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int 5 e^{6 x} + \frac{x (- 3 x^{5} + 4)}{x \cdot x} d x$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int 5 e^{6 x} + \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 5 e^{6 x} d x + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Étape 5

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$5 \int e^{6 x} d x + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Étape 6

Laissez $u = 6 x$ . Alors $d u = 6 d x$ , donc $\frac{1}{6} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = 6 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Étape 6.1.2

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Étape 6.1.4

Multipliez $6$ par $1$ .

$6$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$5 \int e^{u} \frac{1}{6} d u + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Étape 7

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{6}$ .

$5 \int \frac{e^{u}}{6} d u + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Étape 8

Comme $\frac{1}{6}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{6}$ en dehors de l’intégrale.

$5 (\frac{1}{6} \int e^{u} d u) + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Étape 9

Associez $\frac{1}{6}$ et $5$ .

$\frac{5}{6} \int e^{u} d u + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Étape 10

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) + \int \frac{- 3 x^{5} + 4}{x} d x$

Étape 11

Divisez $- 3 x^{5} + 4$ par $x$ .

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Étape 11.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Étape 11.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 3 x^{5}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

Étape 11.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{5}$

$0$

Étape 11.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 3 x^{5} + 0$

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{5}$

$0$

Étape 11.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{5}$

$0$

Étape 11.6

Extrayez le terme suivant du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$3 x^{4}$

$x$

$0$

$3 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$4$

$3 x^{5}$

$0$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 11.7

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) + \int - 3 x^{4} + \frac{4}{x} d x$

Étape 12

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) + \int - 3 x^{4} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Étape 13

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 \int x^{4} d x + \int \frac{4}{x} d x$

Étape 14

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int \frac{4}{x} d x$

Étape 15

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{5}$ .

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \int \frac{4}{x} d x$

Étape 16

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 4 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 17

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{5}{6} (e^{u} + C) - 3 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 4 (\ln (| x |) + C)$

Étape 18

Simplifiez

$\frac{5 e^{u}}{6} - \frac{3 x^{5}}{5} + 4 \ln (| x |) + C$

Étape 19

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x$ .

$\frac{5 e^{6 x}}{6} - \frac{3 x^{5}}{5} + 4 \ln (| x |) + C$

Étape 20

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5}{6} e^{6 x} - \frac{3}{5} x^{5} + 4 \ln (| x |) + C$

Étape 21

La réponse est la dérivée première de la fonction $f (x) = 5 e^{6 x} + \frac{- 3 x^{6} + 4 x}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{5}{6} e^{6 x} - \frac{3}{5} x^{5} + 4 \ln (| x |) + C$