Calcul infinitésimal Exemples

$- 2 \cot (x) + \frac{1}{x^{4}}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 \cot (x) + \frac{1}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 \cot (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 \cot (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \cot (x)]$ .

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Étape 2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \cot (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$- 2 (- \csc^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 2.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$2 \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

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Étape 3.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$2 \csc^{2} (x) + \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4}$ .

$2 \csc^{2} (x) + \frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 \csc^{2} (x) - u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$2 \csc^{2} (x) - {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$2 \csc^{2} (x) - {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})$

Étape 3.4

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Étape 3.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \csc^{2} (x) - x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})$

Étape 3.4.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$2 \csc^{2} (x) - x^{- 8} (4 x^{3})$

Étape 3.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$2 \csc^{2} (x) - 4 x^{- 8} x^{3}$

Étape 3.6

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.6.1

Déplacez $x^{3}$ .

$2 \csc^{2} (x) - 4 (x^{3} x^{- 8})$

Étape 3.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \csc^{2} (x) - 4 x^{3 - 8}$

Étape 3.6.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$2 \csc^{2} (x) - 4 x^{- 5}$

Étape 4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \csc^{2} (x) - 4 \frac{1}{x^{5}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Associez des termes.

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Étape 5.1.1

Associez $- 4$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$2 \csc^{2} (x) + \frac{- 4}{x^{5}}$

Étape 5.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \csc^{2} (x) - \frac{4}{x^{5}}$

Étape 5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{4}{x^{5}} + 2 \csc^{2} (x)$