Calcul infinitésimal Exemples

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ est ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$ où ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{3}}}$ et ${\displaystyle g\left(x\right)={(x+3)}^{\frac{2}{3}}}$.

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ est ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ où ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}}$ et ${\displaystyle g\left(x\right)=x+3}$.

Pour écrire ${\displaystyle -1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Associez ${\displaystyle -1}$ et ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Simplifiez le numérateur.

Associez les fractions.

Selon la règle de la somme, la dérivée de ${\displaystyle x+3}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x\right]+\frac{d}{dx}\left[3\right]}$.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=1}$.

Comme ${\displaystyle 3}$ est constant par rapport à ${\displaystyle x}$, la dérivée de ${\displaystyle 3}$ par rapport à ${\displaystyle x}$ est ${\displaystyle 0}$.

Simplifiez l’expression.

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ est ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$ où ${\displaystyle n=\frac{1}{3}}$.

Pour écrire ${\displaystyle -1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Associez ${\displaystyle -1}$ et ${\displaystyle \frac{3}{3}}$.

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Simplifiez le numérateur.

Placez le signe moins devant la fraction.

Associez ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ et ${\displaystyle x^{-\frac{2}{3}}}$.

Associez ${\displaystyle {(x+3)}^{\frac{2}{3}}}$ et ${\displaystyle \frac{x^{-\frac{2}{3}}}{3}}$.

Placez ${\displaystyle x^{-\frac{2}{3}}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Pour écrire ${\displaystyle \frac{2x^{\frac{1}{3}}}{3{(x+3)}^{\frac{1}{3}}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par ${\displaystyle \frac{x^{\frac{2}{3}}}{x^{\frac{2}{3}}}}$.

Pour écrire ${\displaystyle \frac{{(x+3)}^{\frac{2}{3}}}{3x^{\frac{2}{3}}}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par ${\displaystyle \frac{{(x+3)}^{\frac{1}{3}}}{{(x+3)}^{\frac{1}{3}}}}$.

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${\displaystyle 3{(x+3)}^{\frac{1}{3}}{x}^{\frac{2}{3}}}$, en multipliant chacun par un facteur approprié de ${\displaystyle 1}$.

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

Multipliez ${\displaystyle x^{\frac{1}{3}}}$ par ${\displaystyle x^{\frac{2}{3}}}$ en additionnant les exposants.

Simplifiez ${\displaystyle 2x^1}$.

Multipliez ${\displaystyle {(x+3)}^{\frac{2}{3}}}$ par ${\displaystyle {(x+3)}^{\frac{1}{3}}}$ en additionnant les exposants.

Simplifiez ${\displaystyle {(x+3)}^1}$.

Additionnez ${\displaystyle 2x}$ et ${\displaystyle x}$.

Factorisez ${\displaystyle 3}$ à partir de ${\displaystyle 3x}$.

Factorisez ${\displaystyle 3}$ à partir de ${\displaystyle 3}$.

Factorisez ${\displaystyle 3}$ à partir de ${\displaystyle 3\left(x\right)+3\left(1\right)}$.

Annulez les facteurs communs.

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]}$ est ${\displaystyle \frac{g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]-f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]}{{g\left(x\right)}^2}}$ où ${\displaystyle f\left(x\right)=x+1}$ et ${\displaystyle g\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}{(x+3)}^{\frac{1}{3}}}$.

Différenciez.

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ est ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$ où ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{2}{3}}}$ et ${\displaystyle g\left(x\right)={(x+3)}^{\frac{1}{3}}}$.

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ est ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$ où ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{3}}}$ et ${\displaystyle g\left(x\right)=x+3}$.