Calcul infinitésimal Exemples

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}} \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}]$

Étape 2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{- \frac{3}{5}}$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{3}{5}}}{5}} \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5} x^{- \frac{3}{5}}]$

Étape 2.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Associez $\frac{1}{5}$ et $x^{- \frac{3}{5}}$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{3}{5}}}{5}} \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{3}{5}}}{5}]$

Étape 2.2.2

Élevez à zéro.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Placez $x^{- \frac{3}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{- \frac{3}{5}}}{5}]$

Étape 2.2.2.2

Placez $x^{- \frac{3}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} \frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}]$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (\frac{d}{d x} [- x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

Étape 3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

Étape 4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

Étape 6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

Étape 7

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

Étape 7.3

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}])$

Étape 8

Comme $\frac{1}{5}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}]$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}])$

Étape 9

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{3}{5}}}$ comme ${(x^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{5}})}^{- 1}])$

Étape 9.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5} \cdot - 1}])$

Étape 9.2.2

Multipliez $\frac{3}{5} \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.2.1

Associez $\frac{3}{5}$ et $- 1$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{5}}])$

Étape 9.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{5}}])$

Étape 9.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{5}}])$

Étape 10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{3}{5}$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{3}{5} - 1}))$

Étape 11

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

Étape 12

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

Étape 13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} (- \frac{3}{5} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 5}{5}}))$

Étape 14

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} (- \frac{3}{5} x^{\frac{- 3 - 5}{5}}))$

Étape 14.2

Soustrayez $5$ de $- 3$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} (- \frac{3}{5} x^{\frac{- 8}{5}}))$

Étape 15

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} (- \frac{3}{5} x^{- \frac{8}{5}}))$

Étape 16

Associez $x^{- \frac{8}{5}}$ et $\frac{3}{5}$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{5} (- \frac{x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{5}))$

Étape 17

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{5}$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{5 \cdot 5})$

Étape 18

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 18.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{x^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{25})$

Étape 18.2

Déplacez $3$ à gauche de $x^{- \frac{8}{5}}$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 \cdot x^{- \frac{8}{5}}}{25})$

Étape 18.3

Placez $x^{- \frac{8}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{- x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{5 x^{\frac{3}{5}}}} (- \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{25 x^{\frac{8}{5}}})$