Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (4 - x^{2} + 2 x^{4})$ , $x = 1$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 1$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $1$ .

$y = \ln (4 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \ln (4 - 1^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \ln (4 - 1^{2} + 2 \cdot 1^{4})$

Étape 1.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = \ln (4 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$

Étape 1.2.4

Simplifiez $\ln (4 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4})$ .

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \ln (4 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4})$

Étape 1.2.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y = \ln (4 - 1 + 2 {(1)}^{4})$

Étape 1.2.4.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = \ln (4 - 1 + 2 \cdot 1)$

Étape 1.2.4.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \ln (4 - 1 + 2)$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.2.4.2.1

Soustrayez $1$ de $4$ .

$y = \ln (3 + 2)$

Étape 1.2.4.2.2

Additionnez $3$ et $2$ .

$y = \ln (5)$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = \ln (5)$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 4 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - x^{2} + 2 x^{4}$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} + 2 x^{4}]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x^{2} + 2 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Étape 2.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Étape 2.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Étape 2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Étape 2.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Étape 2.2.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + \frac{d}{d x} [2 x^{4}])$

Étape 2.2.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{4}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 2.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 2 (4 x^{3}))$

Étape 2.2.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.9.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$

Étape 2.2.9.2

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}} (- 2 x + 8 x^{3})$ .

$(- 2 x + 8 x^{3}) \frac{1}{4 - x^{2} + 2 x^{4}}$

Étape 2.3

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) (\frac{1}{4 - {(1)}^{2} + 2 {(1)}^{4}})$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{4 - 1 \cdot 1 + 2 {(1)}^{4}}$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{4 - 1 + 2 {(1)}^{4}}$

Étape 2.4.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{4 - 1 + 2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{4 - 1 + 2}$

Étape 2.4.1.5

Soustrayez $1$ de $4$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{3 + 2}$

Étape 2.4.1.6

Additionnez $3$ et $2$ .

$(- 2 \cdot 1 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{5}$

Étape 2.4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$(- 2 + 8 {(1)}^{3}) \frac{1}{5}$

Étape 2.4.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$(- 2 + 8 \cdot 1) \frac{1}{5}$

Étape 2.4.2.1.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$(- 2 + 8) \frac{1}{5}$

Étape 2.4.2.2

Associez les fractions.

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Étape 2.4.2.2.1

Additionnez $- 2$ et $8$ .

$6 (\frac{1}{5})$

Étape 2.4.2.2.2

Associez $6$ et $\frac{1}{5}$ .

$\frac{6}{5}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $\frac{6}{5}$ et un point donné, tel que $(1, \ln (5))$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\ln (5)) = \frac{6}{5} \cdot (x - (1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \ln (5) = \frac{6}{5} \cdot (x - 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $\frac{6}{5} \cdot (x - 1)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - \ln (5) = 0 + 0 + \frac{6}{5} \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \ln (5) = \frac{6}{5} \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \ln (5) = \frac{6}{5} x + \frac{6}{5} \cdot - 1$

Étape 3.3.1.4

Associez $\frac{6}{5}$ et $x$ .

$y - \ln (5) = \frac{6 x}{5} + \frac{6}{5} \cdot - 1$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $\frac{6}{5} \cdot - 1$ .

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Étape 3.3.1.5.1

Associez $\frac{6}{5}$ et $- 1$ .

$y - \ln (5) = \frac{6 x}{5} + \frac{6 \cdot - 1}{5}$

Étape 3.3.1.5.2

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$y - \ln (5) = \frac{6 x}{5} + \frac{- 6}{5}$

Étape 3.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - \ln (5) = \frac{6 x}{5} - \frac{6}{5}$

Étape 3.3.2

Ajoutez $\ln (5)$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{6}{5} + \ln (5)$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour écrire $\ln (5)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{6}{5} + \ln (5) \cdot \frac{5}{5}$

Étape 3.3.3.2

Associez $\ln (5)$ et $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{6}{5} + \frac{\ln (5) \cdot 5}{5}$

Étape 3.3.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 6 + \ln (5) \cdot 5}{5}$

Étape 3.3.3.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.3.4.1

Multipliez $\ln (5) \cdot 5$ .

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Étape 3.3.3.4.1.1

Remettez dans l’ordre $\ln (5)$ et $5$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 6 + 5 \cdot \ln (5)}{5}$

Étape 3.3.3.4.1.2

Simplifiez $5 \cdot \ln (5)$ en déplaçant $5$ dans le logarithme.

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 6 + \ln (5^{5})}{5}$

Étape 3.3.3.4.2

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 6 + \ln (3125)}{5}$

Étape 3.3.3.5

Réécrivez $- 6$ comme $- 1 (6)$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 1 (6) + \ln (3125)}{5}$

Étape 3.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (3125)$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 1 (6) - 1 (- \ln (3125))}{5}$

Étape 3.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (6) - 1 (- \ln (3125))$ .

$y = \frac{6 x}{5} + \frac{- 1 (6 - \ln (3125))}{5}$

Étape 3.3.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{6 x}{5} - \frac{6 - \ln (3125)}{5}$

Étape 3.3.3.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{6}{5} x - \frac{6 - \ln (3125)}{5}$

Étape 4