Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(\frac{x}{1 + x})}^{5}$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = \frac{x}{1 + x}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{1 + x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{1 + x}$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 1 + x$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{(1 + x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 3.2

Multipliez $1 + x$ par $1$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 3.7

Simplifiez les termes.

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Étape 3.7.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + x - x}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 3.7.2

Soustrayez $x$ de $x$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1 + 0}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 3.7.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$5 {(\frac{x}{1 + x})}^{4} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$

Étape 3.7.4

Associez $\frac{1}{{(1 + x)}^{2}}$ et $5$ .

$\frac{5}{{(1 + x)}^{2}} {(\frac{x}{1 + x})}^{4}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{1 + x}$ .

$\frac{5}{{(1 + x)}^{2}} \cdot \frac{x^{4}}{{(1 + x)}^{4}}$

Étape 4.2

Associez des termes.

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{5}{{(1 + x)}^{2}}$ par $\frac{x^{4}}{{(1 + x)}^{4}}$ .

$\frac{5 x^{4}}{{(1 + x)}^{2} {(1 + x)}^{4}}$

Étape 4.2.2

Multipliez ${(1 + x)}^{2}$ par ${(1 + x)}^{4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 x^{4}}{{(1 + x)}^{2 + 4}}$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $2$ et $4$ .

$\frac{5 x^{4}}{{(1 + x)}^{6}}$

Étape 4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{5 x^{4}}{{(x + 1)}^{6}}$