Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{1}{u \sqrt{3 - u^{2}}} d u$

Étape 1

Laissez $u = \sqrt{3} \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d u = \sqrt{3} \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sqrt{3} \cos (t)$ est positif.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - {(\sqrt{3} \sin (t))}^{2}}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - {(\sqrt{3} \sin (t))}^{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\sqrt{3} \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} - ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Étape 2.1.2

Multipliez par $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 - ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Étape 2.1.3

Factorisez ${\sqrt{3}}^{2}$ à partir de $- ({\sqrt{3}}^{2} \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{3}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Étape 2.1.4

Factorisez ${\sqrt{3}}^{2}$ à partir de ${\sqrt{3}}^{2} \cdot 1 + {\sqrt{3}}^{2} (- (\sin^{2} (t)))$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot (1 - (\sin^{2} (t)))}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{\sqrt{3}}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.1.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Étape 2.1.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Étape 2.1.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Étape 2.1.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{\frac{2}{2}} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Étape 2.1.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3^{1} \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Étape 2.1.6.5

Évaluez l’exposant.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3 \cdot \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{3 \cos^{2} (t)}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Étape 2.1.7

Remettez dans l’ordre $3$ et $\cos^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) \sqrt{\cos^{2} (t) \cdot 3}} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Étape 2.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$\int \frac{1}{\sqrt{3} \sin (t) (\cos (t) \sqrt{3})} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Étape 2.2.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Étape 2.2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{1 + 1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Étape 2.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int \frac{1}{{\sqrt{3}}^{2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Étape 2.2.5

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Étape 2.2.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \frac{1}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Étape 2.2.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\int \frac{1}{3^{\frac{2}{2}} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Étape 2.2.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{3^{\frac{2}{2}} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Étape 2.2.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{1}{3^{1} \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Étape 2.2.5.5

Évaluez l’exposant.

$\int \frac{1}{3 \sin (t) \cos (t)} (\sqrt{3} \cos (t)) d t$

Étape 2.2.6

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{1}{3 \sin (t) \cos (t)}$ .

$\int \frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t) \cos (t)} \cos (t) d t$

Étape 2.2.7

Associez $\frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t) \cos (t)}$ et $\cos (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

Étape 2.2.8

Annulez le facteur commun de $\cos (t)$ .

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Étape 2.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{\sqrt{3} \cos (t)}{3 \sin (t) \cos (t)} d t$

Étape 2.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{\sqrt{3}}{3 \sin (t)} d t$

Étape 3

Comme $\frac{\sqrt{3}}{3}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{\sqrt{3}}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Étape 4

Convertissez de $\frac{1}{\sin (t)}$ à $\csc (t)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} \int \csc (t) d t$

Étape 5

L’intégrale de $\csc (t)$ par rapport à $t$ est $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Étape 6

Simplifiez

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Étape 7

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})$ .

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})) - \cot (\arcsin (\frac{u}{\sqrt{3}})) |) + C$

Étape 8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\sqrt{3}}{3} \ln (| \csc (\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}} u)) - \cot (\arcsin (\frac{1}{\sqrt{3}} u)) |) + C$