Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{x + y}{x - y} = x^{2} + y^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\frac{x + y}{x - y}) = \frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + y$ et $g (x) = x - y$ .

$\frac{(x - y) \frac{d}{d x} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.7

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8

Simplifiez

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - y) (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.2.1.1

Développez $(x - y) (1 + y')$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.8.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (1 + y') - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.2.1.2.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.1.3

Développez $(- x - y) (1 - y')$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.8.2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x (1 - y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.8.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.1.4.2

Multipliez $- x (- y')$ .

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Étape 2.8.2.1.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + 1 x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.1.4.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.1.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.1.4.4

Multipliez $- y (- y')$ .

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Étape 2.8.2.1.4.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + 1 y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.1.4.4.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.2

Associez les termes opposés dans $x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'$ .

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Étape 2.8.2.2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{x y' - y - y y' + 0 + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.2.2

Additionnez $x y' - y - y y'$ et $0$ .

$\frac{x y' - y - y y' + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.2.3

Additionnez $- y y'$ et $y y'$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y + 0}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.2.4

Additionnez $x y' - y + x y' - y$ et $0$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.3

Additionnez $x y'$ et $x y'$ .

$\frac{2 x y' - y - y}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8.2.4

Soustrayez $y$ de $- y$ .

$\frac{2 x y' - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x y' - 2 y$ .

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Étape 2.8.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x y'$ .

$\frac{2 (x y') - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$\frac{2 (x y') + 2 (- y)}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 2.8.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x y') + 2 (- y)$ .

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + 2 y y'$

Étape 3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y y' + 2 x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} = 2 y y' + 2 x$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par ${(x - y)}^{2}$ .

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2} = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de ${(x - y)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2} = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Étape 5.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 (x y' - y) = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (x y') + 2 (- y) = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Étape 5.2.1.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 x y' - 2 y = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Étape 5.2.1.1.3.2

Déplacez $x$ .

$2 y' x - 2 y = (2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $(2 y y' + 2 x) {(x - y)}^{2}$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y' x - 2 y = 2 y y' {(x - y)}^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Étape 5.2.2.1.2

Déplacez $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y {(x - y)}^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Réécrivez ${(x - y)}^{2}$ comme $(x - y) (x - y)$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y ((x - y) (x - y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Étape 5.3.1.2

Développez $(x - y) (x - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x (x - y) - y (x - y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Étape 5.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Étape 5.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Étape 5.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Étape 5.3.1.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x - y (- y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Étape 5.3.1.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Étape 5.3.1.3.1.4

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.3.1.4.1

Déplacez $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Étape 5.3.1.3.1.4.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Étape 5.3.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Étape 5.3.1.3.1.6

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - y x + y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Étape 5.3.1.3.2

Soustrayez $y x$ de $- x y$ .

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Étape 5.3.1.3.2.1

Déplacez $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Étape 5.3.1.3.2.2

Soustrayez $x y$ de $- x y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Étape 5.3.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y (- 2 x y) + 2 y' y \cdot y^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Étape 5.3.1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.5.1

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.5.1.1

Déplacez $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' (y \cdot y) (- 2 x) + 2 y' y \cdot y^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Étape 5.3.1.5.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' y \cdot y^{2} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Étape 5.3.1.5.2

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.5.2.1

Déplacez $y^{2}$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' (y^{2} y) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Étape 5.3.1.5.2.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 5.3.1.5.2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' (y^{2} y^{1}) + 2 x {(x - y)}^{2}$

Étape 5.3.1.5.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' y^{2 + 1} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Étape 5.3.1.5.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} + 2 y' y^{2} (- 2 x) + 2 y' y^{3} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Étape 5.3.1.6

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x {(x - y)}^{2}$

Étape 5.3.1.7

Réécrivez ${(x - y)}^{2}$ comme $(x - y) (x - y)$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x ((x - y) (x - y))$

Étape 5.3.1.8

Développez $(x - y) (x - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x (x - y) - y (x - y))$

Étape 5.3.1.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x \cdot x + x (- y) - y (x - y))$

Étape 5.3.1.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y))$

Étape 5.3.1.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.9.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y))$

Étape 5.3.1.9.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x - y (- y))$

Étape 5.3.1.9.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y)$

Étape 5.3.1.9.1.4

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.9.1.4.1

Déplacez $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y))$

Étape 5.3.1.9.1.4.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2})$

Étape 5.3.1.9.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2})$

Étape 5.3.1.9.1.6

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - y x + y^{2})$

Étape 5.3.1.9.2

Soustrayez $y x$ de $- x y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.9.2.1

Déplacez $y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2})$

Étape 5.3.1.9.2.2

Soustrayez $x y$ de $- x y$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x (x^{2} - 2 x y + y^{2})$

Étape 5.3.1.10

Appliquez la propriété distributive.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

Étape 5.3.1.11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.11.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.11.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 (x^{2} x) + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

Étape 5.3.1.11.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1.11.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

Étape 5.3.1.11.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{2 + 1} + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

Étape 5.3.1.11.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} + 2 x (- 2 x y) + 2 x y^{2}$

Étape 5.3.1.11.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.11.2.1

Déplacez $x$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} + 2 (x \cdot x) (- 2 y) + 2 x y^{2}$

Étape 5.3.1.11.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} + 2 x^{2} (- 2 y) + 2 x y^{2}$

Étape 5.3.1.12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.12.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot - 2 x^{2} y + 2 x y^{2}$

Étape 5.3.1.12.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$2 y' x - 2 y = 2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2}$

Étape 5.3.2

Comme $y'$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2} = 2 y' x - 2 y$

Étape 5.3.3

Soustrayez $2 y' x$ des deux côtés de l’équation.

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2} - 2 y' x = - 2 y$

Étape 5.3.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $2 x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} - 4 x^{2} y + 2 x y^{2} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3}$

Étape 5.3.4.2

Ajoutez $4 x^{2} y$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} + 2 x y^{2} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y$

Étape 5.3.4.3

Soustrayez $2 x y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Étape 5.3.5

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' y x^{2} - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} - 2 y' x$ .

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Étape 5.3.5.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' y x^{2}$ .

$2 y' (y x^{2}) - 4 y' y^{2} x + 2 y' y^{3} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Étape 5.3.5.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $- 4 y' y^{2} x$ .

$2 y' (y x^{2}) + 2 y' (- 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Étape 5.3.5.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' y^{3}$ .

$2 y' (y x^{2}) + 2 y' (- 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3} - 2 y' x = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Étape 5.3.5.4

Factorisez $2 y'$ à partir de $- 2 y' x$ .

$2 y' (y x^{2}) + 2 y' (- 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3} + 2 y' (- 1 x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Étape 5.3.5.5

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' (y x^{2}) + 2 y' (- 2 y^{2} x)$ .

$2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3} + 2 y' (- 1 x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Étape 5.3.5.6

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x) + 2 y' y^{3}$ .

$2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3}) + 2 y' (- 1 x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Étape 5.3.5.7

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3}) + 2 y' (- 1 x)$ .

$2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - 1 x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Étape 5.3.6

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

Étape 5.3.7

Divisez chaque terme dans $2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$ par $2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.7.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x) = - 2 y - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$ par $2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)$ .

$\frac{2 y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} = \frac{- 2 y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Étape 5.3.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.7.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.7.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} = \frac{- 2 y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Étape 5.3.7.2.2

Annulez le facteur commun de $y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x$ .

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Étape 5.3.7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.7.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Étape 5.3.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.7.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 5.3.7.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$y' = \frac{2 (- y)}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Étape 5.3.7.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.7.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.7.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Étape 5.3.7.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- 2 x^{3}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Étape 5.3.7.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 5.3.7.3.1.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 (- x^{3})}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Étape 5.3.7.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.7.3.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.7.3.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Étape 5.3.7.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{4 x^{2} y}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Étape 5.3.7.3.1.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 5.3.7.3.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2} y$ .

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 (2 x^{2} y)}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Étape 5.3.7.3.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.7.3.1.5.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.7.3.1.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- 2 x y^{2}}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Étape 5.3.7.3.1.6

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 5.3.7.3.1.6.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x y^{2}$ .

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 (- x y^{2})}{2 (y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x)}$

Étape 5.3.7.3.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.7.3.1.6.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 5.3.7.3.1.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{- x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Étape 5.3.7.3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Étape 5.3.7.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.3.7.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- y - x^{3}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} + \frac{2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Étape 5.3.7.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- y - x^{3} + 2 x^{2} y}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Étape 5.3.7.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- y - x^{3} + 2 x^{2} y - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Étape 5.3.7.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{- (y) - x^{3} + 2 x^{2} y - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Étape 5.3.7.3.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$y' = \frac{- (y) - (x^{3}) + 2 x^{2} y - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Étape 5.3.7.3.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y) - (x^{3})$ .

$y' = \frac{- (y + x^{3}) + 2 x^{2} y - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Étape 5.3.7.3.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x^{2} y$ .

$y' = \frac{- (y + x^{3}) - (- 2 x^{2} y) - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Étape 5.3.7.3.2.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y + x^{3}) - (- 2 x^{2} y)$ .

$y' = \frac{- (y + x^{3} - 2 x^{2} y) - x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Étape 5.3.7.3.2.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- x y^{2}$ .

$y' = \frac{- (y + x^{3} - 2 x^{2} y) - (x y^{2})}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Étape 5.3.7.3.2.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y + x^{3} - 2 x^{2} y) - (x y^{2})$ .

$y' = \frac{- (y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2})}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Étape 5.3.7.3.2.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.7.3.2.11.1

Réécrivez $- (y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2})$ comme $- 1 (y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2})$ .

$y' = \frac{- 1 (y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2})}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Étape 5.3.7.3.2.11.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y + x^{3} - 2 x^{2} y + x y^{2}}{y x^{2} - 2 y^{2} x + y^{3} - x}$