Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{k = 1}^{n} \frac{6 k (k - 1)}{n^{3}}$

Étape 1

La formule pour la sommation d’un polynôme avec degré $2$ est :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 2

Remplacez les valeurs dans la formule et veillez à multiplier par le terme à l’avant.

$(6) (\frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6})$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$6 \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Étape 3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$n (n + 1) (2 n + 1)$

Étape 3.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$(n \cdot n + n \cdot 1) (2 n + 1)$

Étape 3.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.3.1

Multipliez $n$ par $n$ .

$(n^{2} + n \cdot 1) (2 n + 1)$

Étape 3.1.3.2

Multipliez $n$ par $1$ .

$(n^{2} + n) (2 n + 1)$

Étape 3.2

Développez $(n^{2} + n) (2 n + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$n^{2} (2 n + 1) + n (2 n + 1)$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n + 1)$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$n^{2} (2 n) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Étape 3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 n^{2} n + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $n^{2}$ par $n$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Déplacez $n$ .

$2 (n \cdot n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $n$ par $n^{2}$ .

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Étape 3.3.1.2.2.1

Élevez $n$ à la puissance $1$ .

$2 (n^{1} n^{2}) + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Étape 3.3.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 n^{1 + 2} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Étape 3.3.1.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$2 n^{3} + n^{2} \cdot 1 + n (2 n) + n \cdot 1$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $n^{2}$ par $1$ .

$2 n^{3} + n^{2} + n (2 n) + n \cdot 1$

Étape 3.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n \cdot n + n \cdot 1$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $n$ par $n$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.5.1

Déplacez $n$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 (n \cdot n) + n \cdot 1$

Étape 3.3.1.5.2

Multipliez $n$ par $n$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n \cdot 1$

Étape 3.3.1.6

Multipliez $n$ par $1$ .

$2 n^{3} + n^{2} + 2 n^{2} + n$

Étape 3.3.2

Additionnez $n^{2}$ et $2 n^{2}$ .

$2 n^{3} + 3 n^{2} + n$