Calcul infinitésimal Exemples

$6 x^{3} \sqrt{x} \csc (x)$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{3} x^{\frac{1}{2}} \csc (x)]$

Étape 2

Multipliez $x^{3}$ par $x^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1

Déplacez $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [6 (x^{\frac{1}{2}} x^{3}) \csc (x)]$

Étape 2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2} + 3} \csc (x)]$

Étape 2.3

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} \csc (x)]$

Étape 2.4

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} \csc (x)]$

Étape 2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} \csc (x)]$

Étape 2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{1 + 6}{2}} \csc (x)]$

Étape 2.6.2

Additionnez $1$ et $6$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}} \csc (x)]$

Étape 3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{\frac{7}{2}} \csc (x)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}} \csc (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}} \csc (x)]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{7}{2}}$ et $g (x) = \csc (x)$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} \frac{d}{d x} [\csc (x)] + \csc (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Étape 5

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Étape 6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{7}{2}$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}))$

Étape 7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}}))$

Étape 10.2

Soustrayez $2$ de $7$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}))$

Étape 11

Associez $\frac{7}{2}$ et $x^{\frac{5}{2}}$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2})$

Étape 12

Associez $\csc (x)$ et $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x)) + \frac{\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}})}{2})$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 (x^{\frac{7}{2}} (- \csc (x) \cot (x))) + 6 \frac{\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Étape 13.2

Associez des termes.

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Étape 13.2.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$- 6 (x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x))) + 6 \frac{\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Étape 13.2.2

Associez $6$ et $\frac{\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}})}{2}$ .

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{6 (\csc (x) (7 x^{\frac{5}{2}}))}{2}$

Étape 13.2.3

Multipliez $7$ par $6$ .

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{42 (\csc (x) (x^{\frac{5}{2}}))}{2}$

Étape 13.2.4

Factorisez $2$ à partir de $42 \csc (x) x^{\frac{5}{2}}$ .

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{2 (21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}})}{2}$

Étape 13.2.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{2 (21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}})}{2 (1)}$

Étape 13.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{2 (21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1}$

Étape 13.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + \frac{21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}}}{1}$

Étape 13.2.5.4

Divisez $21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}}$ par $1$ .

$- 6 x^{\frac{7}{2}} (\csc (x) \cot (x)) + 21 \csc (x) x^{\frac{5}{2}}$

Étape 13.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 6 x^{\frac{7}{2}} \cot (x) \csc (x) + 21 x^{\frac{5}{2}} \csc (x)$