Calcul infinitésimal Exemples

$\int x^{3} \sqrt{9 - x^{2}} d x$

Étape 1

Laissez $x = 3 \sin (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 3 \cos (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \cos (t)$ est positif.

$\int {(3 \sin (t))}^{3} \sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{9 - {(3 \sin (t))}^{2}}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 \sin (t)$ .

$\int {(3 \sin (t))}^{3} \sqrt{9 - (3^{2} \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\int {(3 \sin (t))}^{3} \sqrt{9 - (9 \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.1.3

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$\int {(3 \sin (t))}^{3} \sqrt{9 - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$\int {(3 \sin (t))}^{3} \sqrt{9 (1) - 9 \sin^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $9$ à partir de $- 9 \sin^{2} (t)$ .

$\int {(3 \sin (t))}^{3} \sqrt{9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $9$ à partir de $9 (1) + 9 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int {(3 \sin (t))}^{3} \sqrt{9 (1 - \sin^{2} (t))} (3 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int {(3 \sin (t))}^{3} \sqrt{9 \cos^{2} (t)} (3 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez $9 \cos^{2} (t)$ comme ${(3 \cos (t))}^{2}$ .

$\int {(3 \sin (t))}^{3} \sqrt{{(3 \cos (t))}^{2}} (3 \cos (t)) d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int {(3 \sin (t))}^{3} (3 \cos (t)) (3 \cos (t)) d t$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 \sin (t)$ .

$\int {(3 (\sin (t)))}^{3} (3 \cos (t)) (3 \cos (t)) d t$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de produit à $3 (\sin (t))$ .

$\int 3^{3} \sin^{3} (t) (3 \cos (t)) (3 \cos (t)) d t$

Étape 2.2.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\int 27 \sin^{3} (t) (3 \cos (t)) (3 \cos (t)) d t$

Étape 2.2.4

Multipliez $3$ par $27$ .

$\int 81 \sin^{3} (t) \cos (t) (3 \cos (t)) d t$

Étape 2.2.5

Multipliez $3$ par $81$ .

$\int 243 \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

Étape 2.2.6

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int 243 \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Étape 2.2.7

Élevez $\cos (t)$ à la puissance $1$ .

$\int 243 \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Étape 2.2.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 243 \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Étape 2.2.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int 243 \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

Étape 3

Comme $243$ est constant par rapport à $t$ , placez $243$ en dehors de l’intégrale.

$243 \int \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

Étape 4

Factorisez $\sin^{2} (t)$ .

$243 \int \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Étape 5

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\sin^{2} (t)$ comme $1 - \cos^{2} (t)$ .

$243 \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Étape 6

Laissez $u = \cos (t)$ . Alors $d u = - \sin (t) d t$ , donc $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.1

Laissez $u = \cos (t)$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 6.1.1

Différenciez $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Étape 6.1.2

La dérivée de $\cos (t)$ par rapport à $t$ est $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Étape 6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$243 \int (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Étape 7

Multipliez $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$243 \int - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez $- 1 u^{2}$ comme $- u^{2}$ .

$243 \int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Étape 8.2

Multipliez $u^{2}$ par $u^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$243 \int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Étape 8.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$243 \int - u^{2} + u^{4} d u$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$243 (\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Étape 10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$243 (- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u)$

Étape 11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$243 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u)$

Étape 12

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{4}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$243 (- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Simplifiez

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Étape 13.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$243 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C)$

Étape 13.1.2

Associez $\frac{1}{5}$ et $u^{5}$ .

$243 (- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{u^{5}}{5} + C)$

Étape 13.2

Simplifiez

$243 (- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5}) + C$

Étape 14

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (t)$ .

$243 (- \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + \frac{1}{5} \cos^{5} (t)) + C$

Étape 14.2

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $\arcsin (\frac{x}{3})$ .

$243 (- \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{x}{3})) + \frac{1}{5} \cos^{5} (\arcsin (\frac{x}{3}))) + C$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$243 (- \frac{1}{3} \cos^{3} (\arcsin (\frac{1}{3} x)) + \frac{1}{5} \cos^{5} (\arcsin (\frac{1}{3} x))) + C$