Calcul infinitésimal Exemples

$y = (2 x + 5) \sqrt{4 x - 1}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 x - 1}$ comme ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = (2 x + 5) {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((2 x + 5) {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 2 x + 5$ et $g (x) = {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x + 5) \frac{d}{d x} [{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 4 x - 1$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x - 1$ .

$(2 x + 5) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x - 1$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Étape 4.7

Associez les fractions.

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Étape 4.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$(2 x + 5) (\frac{1}{2} {(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Étape 4.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$(2 x + 5) (\frac{{(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Étape 4.7.3

Placez ${(4 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(2 x + 5) (\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Étape 4.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Étape 4.9

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Étape 4.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Étape 4.11

Multipliez $4$ par $1$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Étape 4.12

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0) + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Étape 4.13

Simplifiez les termes.

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Étape 4.13.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$(2 x + 5) \frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4 + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Étape 4.13.2

Associez $4$ et $\frac{1}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$(2 x + 5) \frac{4}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Étape 4.13.3

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$(2 x + 5) \frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Étape 4.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.14.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x + 5) \frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Étape 4.14.2

Annulez le facteur commun.

$(2 x + 5) \frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Étape 4.14.3

Réécrivez l’expression.

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

Étape 4.15

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 4.16

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 4.17

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 4.18

Multipliez $2$ par $1$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} [5])$

Étape 4.19

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 + 0)$

Étape 4.20

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.20.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2$

Étape 4.20.2

Déplacez $2$ à gauche de ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 x + 5) \frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.21

Simplifiez

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Étape 4.21.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.21.1.1

Multipliez $2 x + 5$ par $\frac{2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(2 x + 5) \cdot 2}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.21.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $2 x + 5$ .

$\frac{2 (2 x + 5)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + 2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.21.2

Pour écrire $2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (2 x + 5)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (2 x + 5) + 2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.21.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x + 5) + 2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.21.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 x + 5) + 2 ({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x + 5) + 2 ({(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (2 x + 5 + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.4.2

Multipliez ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.21.4.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 (2 x + 5 + {(4 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 (2 x + 5 + {(4 x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.4.2.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 (2 x + 5 + {(4 x - 1)}^{\frac{2}{2}})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.4.2.4

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{2 (2 x + 5 + {(4 x - 1)}^{1})}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.4.3

Simplifiez ${(4 x - 1)}^{1}$ .

$\frac{2 (2 x + 5 + 4 x - 1)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.4.4

Additionnez $2 x$ et $4 x$ .

$\frac{2 (6 x + 5 - 1)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.4.5

Soustrayez $1$ de $5$ .

$\frac{2 (6 x + 4)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.4.6

Factorisez $2$ à partir de $6 x + 4$ .

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Étape 4.21.4.6.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$\frac{2 (2 (3 x) + 4)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.4.6.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (2 (3 x) + 2 (2))}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.4.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x) + 2 (2)$ .

$\frac{2 (2 (3 x + 2))}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{2 \cdot 2 (3 x + 2)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.21.4.7

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 (3 x + 2)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{4 (3 x + 2)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (3 x + 2)}{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$