Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{3} (x) d x$

Étape 1

Factorisez $\cos^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (x) \cos (x) d x$

Étape 2

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\cos^{2} (x)$ comme $1 - \sin^{2} (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \sin^{2} (x)) \cos (x) d x$

Étape 3

Laissez $u = \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 3.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 3.1.1

Différenciez $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 3.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Étape 3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 3.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Étape 3.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 3.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Étape 3.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{1} 1 - u^{2} d u$

Étape 4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{1} d u + \int_{0}^{1} - u^{2} d u$

Étape 5

Appliquez la règle de la constante.

$u]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - u^{2} d u$

Étape 6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$u]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} u^{2} d u$

Étape 7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{2}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u]_{0}^{1} - (\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{1})$

Étape 8

Associez $\frac{1}{3}$ et $u^{3}$ .

$u]_{0}^{1} - (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Étape 9

Remplacez et simplifiez.

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Étape 9.1

Évaluez $u$ sur $1$ et sur $0$ .

$(1) + 0 - (\frac{u^{3}}{3}]_{0}^{1})$

Étape 9.2

Évaluez $\frac{u^{3}}{3}$ sur $1$ et sur $0$ .

$1 + 0 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.3

Simplifiez

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Étape 9.3.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$1 - (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3})$

Étape 9.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0}{3})$

Étape 9.3.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $3$ .

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Étape 9.3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Étape 9.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.3.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 9.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Étape 9.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$1 - (\frac{1}{3} - \frac{0}{1})$

Étape 9.3.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$1 - (\frac{1}{3} - 0)$

Étape 9.3.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$1 - (\frac{1}{3} + 0)$

Étape 9.3.6

Additionnez $\frac{1}{3}$ et $0$ .

$1 - \frac{1}{3}$

Étape 9.3.7

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 9.3.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 - 1}{3}$

Étape 9.3.9

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{2}{3}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2}{3}$

Forme décimale :

$0.\overline{6}$