Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2}}{d x^{2}} (\frac{10}{3 x^{3}})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Comme $\frac{10}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{10}{3 x^{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Étape 1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{3}}$ comme ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Étape 1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{10}{3} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 3$ .

$\frac{10}{3} (- 3 x^{- 4})$

Étape 1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 1.4.1

Associez $- 3$ et $\frac{10}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 10}{3} x^{- 4}$

Étape 1.4.2

Multipliez $- 3$ par $10$ .

$\frac{- 30}{3} x^{- 4}$

Étape 1.4.3

Associez $\frac{- 30}{3}$ et $x^{- 4}$ .

$\frac{- 30 x^{- 4}}{3}$

Étape 1.4.4

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 30}{3 x^{4}}$

Étape 1.4.5

Annulez le facteur commun à $- 30$ et $3$ .

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Étape 1.4.5.1

Factorisez $3$ à partir de $- 30$ .

$\frac{3 \cdot - 10}{3 x^{4}}$

Étape 1.4.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{4}$ .

$\frac{3 \cdot - 10}{3 (x^{4})}$

Étape 1.4.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 10}{3 x^{4}}$

Étape 1.4.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 10}{x^{4}}$

Étape 1.4.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{10}{x^{4}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $- 10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{10}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 4$ .

$- 10 (- 4 x^{- 5})$

Étape 2.4

Multipliez $- 4$ par $- 10$ .

$40 x^{- 5}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$40 \frac{1}{x^{5}}$

Étape 2.5.2

Associez $40$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{40}{x^{5}}$